Commutator expansions and smoothing properties of generalized Benjamin-Ono equations

We derive series expansions and remainder estimates for commutators of the type [D|D| 2 μ, h] where D=d/dx, μ∈R + , and h is the operator of multiplication by a smooth function. Those results are instrumental in deriving smoothing properties and existence of solutions for generalized Benjamin-Ono equations (see the equation (1) below) Demonstration des developpements en series et des estimations des restes pour des commutateurs du type [D|D| 2 μ, h] ou D=d/dx, μ∈IR + et h est l'operateur de multiplication par une fonction reguliere. Ces resultats sont utiles pour la demonstration de proprietes de lissage et d'existence de solutions pour des equations de Benjamin-Ono generalisees