Single step methods for inhomogeneous linear differential equations in Banach space

Considenng the imtial-value problemjor the differential équation u(t) = Au(t) + J(t) in a Banach space X, where A générâtes a bounded semigroup on X, we analyze single step discretizations oj thejorm un+i = r{kA) un + k f qffcA) j(nk + z} k), J=I where k is the step size, r,qt, ,qm are rationaljunctions, bounded jor Re z ^ 0, and x} are quadrature points in [0, 1] Resumé — On considère le problème aux conditions initiales pour l équation dijjerentielle u'(t) = Au(t) + f(t) dans un espace de Banach X, ou A engendre un semi-groupe borne sur X, et on analyse des discrétisations a un pas du type un+ ! r(kA) un + k £ q/fcA) f(nk + Tj k), ou k est le pas, r,qt, tqm sont des fonctions rationnelles, bornées pour Re z ^ 0, et Xj sont des points de quadrature sur [0, 1]