Modélisation numérique de la dynamique des globules rouges par la méthode des fonctions de niveau

Ce travail, a l'interface entre les mathematiques appliquees et la physique, s'articule autour de la modelisation numerique des vesicules biologiques, un modele pour les globules rouges du sang. Pour cela, le modele de Canham et Helfrich est adopte pour decrire le comportement des vesicules. La modelisation numerique utilise la methode des fonctions de niveau dans un cadre elements finis. Un nouvel algorithme de resolution numerique combinant une technique de multiplicateurs de Lagrange avec une adaptation automatique de maillages garantit la conservation exacte des volumes et des surfaces. Cet algorithme permet donc de depasser une limitation cruciale actuelle de la methode des fonctions de niveau, a savoir les pertes de masse couramment observees dans ce type de problemes. De plus, les proprietes de convergence de la methode des fonctions de niveau se trouvent ainsi grandement ameliorees, comme l'indiquent de nombreux tests numeriques. Ces tests comprennent notamment des problemes d'advection elementaires, des mouvements par courbure moyenne ainsi que des mouvements par diffusion de surface. Concernant l'equilibre statique des vesicules, une condition generale d'equilibre d'Euler-Lagrange est obtenue a l'aide d'outils de derivation de forme. En dynamique, le mouvement d'une vesicule sous l'action d'un ecoulement de cisaillement est etudie dans le cadre des nombres de Reynolds eleves. L'effet du confinement est considere, et les regimes classiques de chenille de char et de basculement sont retrouves. Finalement, pour la premiere fois, l'effet des termes inertiels est etudie et on montre qu'au dela d'une valeur critique du nombre de Reynolds, la vesicule passe d'un mouvement de basculement a un mouvement de chenille de char.