A Parallel Newton Multigrid Method for High Order Finite Elements and Its Application to Numerical Existence Proofs for Elliptic Boundary Value Equations

We describe a parallel algorithm for the numerical computation of guaranteed bounds for solutions of elliptic boundary value equations of second order. We use C2-Hermite-elements and a parallel Newton multigrid method to produce approximations of high accuracy. Then, we compute upper bounds for the defect and enclosures for the eigenvalues of the linearization. In order to obtain verified bounds, these computations are realized in interval arithmetic. The application of the Newton-Kantorovich-theorem yields the existence of a solution and error bounds for the approximation. The method is implemented on a 256 processor transputer grid and tested for the Bratu problem – Δu = λ exp(u). Wir beschreiben einen parallelen Algorithmus fur numerische Einschliesungen und Existenzbeweise fur elliptische Randwertaufgaben zweiter Ordnung. Dazu verwenden wir C2-Hermite-Elemente und ein paralleles Newton-Mehrgitter-Verfahren, um Naherungen mit sehr hoher Genauigkeit zu bestimmen. Anschliesend berechnen wir obere Schranken fur den Defekt und Einschliesungen fur die Eigenwerte der Linearisierung. Um verifizierte Fehlerabschatzungen zu erhalten, werden die Berechnungen mit Intervallarithmetik durchgefuhrt. Die Anwendung des Satzes von Newton-Kantorovich liefert die Existenz einer Losung und Fehlerschranken fur die Naherung. Die Methode wurde auf einem Transputergitter mit 256 Prozessoren implementiert und am Bratu-Problem – Δu = λ exp (u) getestet.