Weighted Petri nets and polynomial dynamical systems

In this article, we show that the generating series of polynomial dynamical systems are exactly the generating series of the subclass of weighted Petri nets where each transition has a single input place with arc weight 1. We propose furthermore an algorithm to check whether a given Petri net corresponds directly to a dynamical system. In many cases, different initial markings correspond to different dynamical systems. We finally prove that the place invariants for the Petri nets correspond to scaling Lie symmetries of the corresponding dynamical system, as well as that the invariants of the symmetry group of the dynamical system corresponds to implicit places in the corresponding Petri net. \\ Dans cet article, nous montrons que les series generatrices des systemes dynamiques polynomiaux sont exactement les memes que les series generatrices d'une sous--classe de reseaux de Petri ponderes, dans lesquels chaque transition a une seule place d'entree avec le poids de l'arc egal a 1. Nous proposons ensuite un algorithme pour verifier si un reseau de Petri donne correspond directement a un systeme dynamique. Dans de nombreux cas, des marquages initiaux differents correspondent a des systemes dynamiques differents. Nous montrons enfin que les invariants de places dans les reseaux de Petri correspondent aux symetries de Lie de changement d'echelle du systeme dynamique correspondant, ainsi que les invariants du groupe de symetrie du systeme dynamique correspondent aux places implicites de reseau de Petri correspondant.