On the average velocity of flow over a movable bed

INTRODUCTION L'un des problemes d'actualite de l'hydraulique fluviale est celui de l'influence des ondulations d'un lit alluvionnaire sur les pertes de charge de l'ecoulement. L'auteur se propose de determiner, a partir de considerations d'analyse dimensionnelle, les parametres a adopter pour l'etude experimentale de ce probleme. Variables sans dimensions du phenomene : La vitesse moyenne v de l'ecoulement est fonction des sept parametres definissant le fluide (viscosite cinematique v et masse volumique ρ), le materiau de fond (masse volumique ρ8 et diametre D), et l'ecoulement (tirant d'eau h, pente S et acceleration de la pesanteur g), ou encore des parametres derives v, q, qs, D, h y = (ρs - r) g et v* = √gSh Selon le theoreme des II, le coefficient de frottement c = v/v* est alors fonction des quatre variables sans dimensions X, Y, Z et W (equ. 7). Dans le cas d'un lit fixe plat et rugueux, c est seulement fonction de X et Z, puisqu'on peut considerer que ce cas correspond a ρ8 et y8 → ∞. La hauteur de rugosite K8 est le diametre caracteristique des grains de materiau. On obtient alors la relation (9). Quand le fond est ondule, la hauteur de rugosite a prendre en compte est la hauteur des rides ou dunes ; la forme de l'ondulation est definie d'autre part par l'angle de repos sous l'eau du materiau ψ ; et la cambrure Δ/λ (fig. 1). Le coefficient de frottement c est donc une fonction F2 des parametres h/Δ, h/k8, Δ/λ et ψ ; (equ. 11). Forme de la fonction F2 : L'auteur determine le coefficient de frottement c sur le fond a partir des pertes de charge de l'ecoulement, lesquelles se subdivisent en : - pertes de charge a la Borda au passage de la crete des dunes (fig. 2, equ. 17) ; pertes de charge par frottement sur la face amont des dunes (equ. 19). L'expression finale de c est donnee par la relation (21). Les valeurs de c calculees par cette formule sont en bon accord avec celles determinees en partant des valeurs experimentales de v/v* (fig. 3), pour les essais en canal effectues au Laboratoire de Wallingford. Valeurs experimentales de c (eau + sable) : Le coefficient c est fonction des parametres X, Y, Z et W, c'est-a-dire encore de : ξ = X2/Y, η = Y/Z, Y et W. Le parametre ξ = γ8D3/ρv2 est pratique, car il est independant de l'ecoulement. Les figures 5 a 9 indiquent les resultats obtenus avec du sable (W = Cte), pour diverses granulometries (ξ variable). Les valeurs experimentales de c sont tres voisines des valeurs de c calculees a partir de la loi de vitesse a la paroi de Prandtl, quand il n'y a pas de dunes. L'influence de la pente S (c'est-a-dire de η) est negligeable, compte tenu des erreurs de mesure ; par contre, l'allure des courbes depend beaucoup de ξ. Pour deux materiaux avec η = S (y/y8) voisins, les valeurs experimentales de c correspondant a des ξ et Y egaux sont tres proches (voir fig. 10) ; le parametre W = ρ/ρ8 n'a donc pas d'influence tres marquee. REMARQUES GENERALES: Les parametres Z (ou η) et W peuvent etre negliges, du moins dans le domaine experimental envisage; ce qui ne signifie pas neanmoins que le coefficient c soit independant de ces deux variables. Einstein (ref. 8) supposait en fait que c ne dependait que de Y ; la divergence entre ses resultats theoriques et experimentaux tient a cette hypothese. L'expression etablie par Simons et Richardson (ref. 10) peut se mettre sous la forme c = f (X, Y, Z, W, w/v*) w etant la vitesse de chute du grain. Comme w/v* ne depend que de X et Y, on est donc ramene a une fonction des quatre parametres proposes par l'auteur.