Portraits spectraux de matrices : un outil d'analyse de la stabilité

La determination des valeurs propres et/ou des vecteurs propres de matrices de grande taille occupe une place importante dans le calcul scientifique. Cependant, le traitement numerique de problemes physiques couples genere souvent des problemes de valeurs propres de grande taille non-normaux qui peuvent alors exhiber de l'instabilite spectrale. Il est crucial pour le scientifique de disposer d'outils capables de detecter et/ou de mesurer l'instabilite spectrale des matrices qu'il utilise et de predire et/ou quantifier les perturbations resultant sur la solution calculee a precision finie. Ce document passe en revue les outils theoriques classiques utilises dans l'estimation de l'erreur et montre leurs limites en presence d'instabilite spectrale forte. La non-normalite et ses liens avec l'instabilite spectrale sont particulierement detailles: la taxonomie etablie permet de clarifier les notions de matrices normales et fortement non-normales. Nous montrons comment les quantificateurs classiques de la non-normalite ne parviennent pas a predire de maniere satisfaisante l'instabilite spectrale. Une alternative basee sur les pseudospectres est alors proposee dans le cas des matrices et des faisceaux de matrices. Nous etudions la representation des pseudospectres par des portraits spectraux ainsi que les differentes interpretations qui peuvent en etre faites a partir de nombreux exemples notamment issus de la physique. On peut ainsi comprendre comment les portraits spectraux permettent de visualiser l'instabilite spectrale qui decoule de la non-normalite. Enfin, differentes methodes numeriques pour le calcul des portraits spectraux sont exposees. L?implantation informatique de la methode retenue, celle de l'equation normale, est detaillee dans le cadre d'une architecture parallele a memoire distribuee, rendant cet outil utilisable dans un cadre industriel.