Estimation of a symmetric density

Kraft, Lepage, and van Eeden (1985) have suggested using a symmetrized version of the kernel estimator when the true density f of the observation is known to be symmetric around a possibly unknown point θ. The effect of this symmetrization device depends on the smoothness of f * f(x) = f f(x+t)f(t) dt at zero. We show that if θ has to be estimated and if f is not absolutely continuous, symmetrization may deteriorate the estimate. Pour estimer une densite f symmetrique autour d'un point θ connu ou non, Kraft, Lepage et van Eeden (1985) suggerent l'emploi de l'estimateur par noyau rendu, lui aussi, symetrique. L'effet de ce procede depend de la regularite de f * f(x) = f f(x+t)f(t) dt au voisinage de zero. Si θ doit ětre estime et si f n'est pas absolument continue, rendre l'estimateur symetrique peut en fait le deteriorer.