Implantation et nouvelles applications de la méthode d'équivalence de Cartan

La methode d'equivalence de Cartan est un algorithme qui permet de decider si deux systemes d'equations differentielles se deduisent l'un de l'autre par un diffeomorphisme local pris dans un (pseudo)groupe de transformations donne. On montre que cette question se ramene a la classification locale des G-structures et donc au calcul d'un ensemble complet d'invariants de celles-ci. Bien que Elie Cartan ait traite, a partir de 1905, de nombreux exemples, cette methode est restee tres longtemps incomprise. Dans les annees 50, deux eleves de Cartan (C. Erhesmann et S. S. Chem) en developpant la theorie des espaces de jets et des G-structures donnerent un fondement theorique pour une bonne partie des calculs effectues par Cartan. Plus recemment, R. Gardner, N. Kamran et P. Olver (voir livre "equivalence, invariants and symmetry") se sont attaches a degager l'aspect algorithmique de la methode de Cartan. L'implantation en MapIe proposee dans cette these permet de traiter des exemples restes hors de portee jusqu'a maintenant. Ainsi seront presentes:. Des resultats de classification des equations differentielles ordinaires du troisieme ordre par des transformations de contact,. Des resultats de classification d'equations ordinaires du quatrieme ordre ainsi que certains systemes d'equations differentielles ordinaires,. L'etude d'un systeme aux derivees partielles du second ordre completement integrable a une variable dependante et n variables independantes sous l'action du groupe des transfonnations ponctuelles. Une optimisation essentielle du programme repose sur l'utilisation de derivations ne commutant pas entre elles. Les problemes d'equivalence sont egalement abordes en utilisant les techniques d'algebre differentielle.