Numerical Solution of Boundary Value Problems

Many transient physical processes are governed by differential equations which under sufficiently smooth conditions permit the evaluation of higher rates of change of the process variables from their space distributions. An explicit method, utilizing a finite number of such higher rates of change, is examined for the particular problem of one dimensional diffusion in a bounded region with radiation into the adjacent medium. Conditions of high order compatibility between the differential and corresponding difference equations are established and shown to ensure a high order truncation error. Satisfaction of the boundary conditions is achieved by a numerical analogue to the method of images, based on time derivatives of the boundary conditions. Numerical results for four problems are presented. Viele physikalische Ubergangserscheinungen werden durch Differentialgleichungen beschrieben, die — unter der Voraussetzung hinreichender Glattheit — gestatten, aus der raumlichen Verteilung der jeweiligen Variablen deren hohere Ableitungen nach der Zeit zu berechnen. Eine explizite Methode, die von einer end-lichen Anzahl derartiger hoherer Ableitungen Gebrauch macht, wird fur den Sonderfall einer eindimensionalen Diffusion in einem begrenzten Gebiet mit Strahlung ins angrenzende Medium genauer untersucht. Es werden Bedingungen dafur aufgestellt, das die Differentialgleichungen und die entsprechenden Differenzengleichungen miteinander in hoher Ordnung vertraglich sind, und es wird gezeigt, das diese Bedingungen einen Abbrechfehler hoher Ordnung garantieren. Die Befriedigung der Grenzbedingungen wird durch eine rechnerische Methode erreicht, die sich auf die zeitlichen Ableitungen der Grenzbedingungen stutzt und der Spiegelbild-Methode analog ist. Fur vier Probleme werden numerische Resultate mitgeteilt.