Un calcul de substitutions pour la representation de preuves partielles en theorie de types

Dans le cadre de la logique intuitionniste et la theorie des types, les notions de propositions et de types se correspondent. Cette correspondance, aussi appele isomorphisme de curry-howard, est a la base de formalismes mathematiques ou les preuves sont representees comme des termes du lambda-calcul type. Afin de voir la construction de preuves comme un processus incremental de construction de termes, il est necessaire d'etendre le lambda-calcul avec de nouvelles constructions. On considere, d'une part, des metavariables typees pour representer les parties d'une preuve restant a construire, et, d'autre part, on rend explicite l'operation de substitution afin de gerer les problemes de capture de variables liees dans un terme contenant des metavariables. Malheureusement, la theorie des calculs avec substitutions explicites et metavariables typees est plus complexe que celle du lambda-calcul. Et, plus grave encore, en general elles ne jouissent pas des memes proprietes, notamment la confluence et la normalisation. Un des apports de cette these est la demonstration que la confluence et la normalisation forte ne sont pas des proprietes incompatibles dans un calcul avec substitutions explicites. Cette these propose aussi un calcul avec substitutions explicites et metavariables typees pour les systemes des types dependants, et notamment pour le calcul des constructions, permettant de representer les preuves partielles. On demontre que ces systemes verifient les proprietes essentielles des calculs types : l'unicite du type, la preservation du type par la reduction, la confluence, la normalisation faible et la decidabilite du typage. On donne enfin une application de ce formalisme a la synthese de preuves. La methode presentee combine une procedure d'enumeration des termes, avec une technique d'unification d'ordre superieur a l'aide des substitutions explicites ou les variables d'unification sont codees comme des metavariables.