Quelques propriétés combinatoires et algorithmiques de formes quadratiques, polynômes et ensembles ordonnés. (Some combinatory and algorithmic properties of quadratic forms, polynomials and ordered sets)

La premiere partie de notre travail, menee en collaboration etroite avec V. BOUCHITTE et M. HABIB, porte sur l'etude de quelques invariants comme le nombre de sauts et la dimension sur les ensembles ordonnes finis. Nous reproduisons ici integralement les deux articles N-free posets as generalizations of series-parallel posets M. HABIB, R. JEGOU Sorne results on the greedy dimension V. BOUCHITTE~ M. HABIB, R. JEGOU a paraitre respectivement dans Discrete Applied Mathematics et dans Order. Le nombre de sauts a fait l'objet de nombreux travaux parmi lesquels ceux de G. CHATY, M. CHEIN, O. COGIS, U. FAIGLE, G. GIERZ, M. HABIB, P. MARTIN, G. PETOLLA, W. POGUNTKE, W.R. PULLEYBLANK, I. RIVAL, M.M. SYSLO ..., et reste d'actua1ite comme en temoigne le congres GRAPHS and OROER (Banff 1984). Cette notion definie originellement sur les graphes sans circuit comme etant le nombre minimum d'arcs a ajouter a un tel graphe pour obtenir un graphe sans circuit ayant un chemin hamiltonien, est etudiee ici sur les ordres sans N. Nous mettons en evidence une construction recursive de ces ordres en generalisant celle des ordres serie paralleles(SP) introduits par E.L. LAWLER et etudies notamment par J. VALDES, R.E. TARJAN et E.L. LAWLER. Les ordres sans N, ou quasi-serie-paralle1es(QSP), peuvent donc se definir a 1 'aide de deux operations simples a partir de l'ordre reduit a un element. Cette construction permet en particulier d'obtenir un algorithme lineaire (en fonction du nombre de sommets et du nombre d'arcs du graphe de Hasse) de reconnaissance et de decomposition qui calcule le nombre de sauts.