Über die stetige Abbildung einer Linie auf ein Flächenstück

Peano hat kurzlich in den Mathematischen Annalen2 durch eine arithmetische Betrachtung gezeigt, wie die Punkte einer Linie stetig auf die Punkte eines Flachenstuckes abgebildet werden konnen. Die fur eine solche Abbildung erforderlichen Funktionen lassen sich in ubersichtlicherer Weise herstellen, wenn man sich der folgenden geometrischen Anschauung bedient. Die abzubildende Linie — etwa eine Gerade von der Lange 1 — teilen wir zunachst in 4 gleiche Teile 1, 2, 3, 4 und das Flachenstuck, welches wir in der Gestalt eines Quadrates von der Seitenlange 1 annehmen, teilen wir durch zwei zu einander senkrechte Gerade in 4 gleiche Quadrate 1, 2, 3, 4 (Abb. 1). Zweitens teilen wir jede der Teilstrecken 1, 2, 3, 4 wiederum in 4 gleiche Teile, so das wir auf der Geraden die 16 Teilstrecken 1, 2, 3, ..., 16 erhalten; gleichzeitig werde jedes der 4 Quadrate 1, 2, 3, 4 in 4 gleiche Quadrate geteilt und den so entstehenden 16 Quadraten werden dann die Zahlen 1, 2, ..., 16 eingeschrieben, wobei jedoch die Reihenfolge der Quadrate so zu wahlen ist, das jedes folgende Quadrat sich mit einer Seite an das vorhergehende anlehnt (Abb. 2). Denken wir uns dieses Verfahren fortgesetzt — Abb. 3 veranschaulicht den nachsten Schritt —, so ist leicht ersichtlich, wie man einem jeden gegebenen Punkte der Geraden einen einzigen bestimmten Punkt des Quadrates zuordnen kann. Man hat nur notig, diejenigen Teilstrecken der Geraden zu bestimmen, auf welche der gegebene Punkt fallt. Die mit den namlichen Zahlen bezeichneten Quadrate liegen notwendig in einander und schliesen in der Grenze einen bestimmten Punkt des Flachenstuckes ein. Dies sei der dem gegebenen Punkte zugeordnete Punkt. Die so gefundene Abbildung ist eindeutig und stetig und umgekehrt einem jeden Punkte des Quadrates entsprechen ein, zwei oder vier Punkte der Linie. Es erscheint uberdies bemerkenswert, das durch geeignete Abanderung der Teillinien in dem Quadrate sich leicht eine eindeutige und stetige Abbildung finden last, deren Umkehrung eine nirgends mehr als dreideutige ist.