Error analysis in L p 6 p 6 ∞ , for mixed finite element methods for linear and quasi-linear elliptic problems

— We consider the approximation by mixed finite element method of second order elliptic problems in IR. We show that error estimâtes in L follow from stability properties of a weighted L-projection on the divergence free vectors ofthe finite element space. Since we work in two dimensions, we show that this projection is related with a Ritz projection and consequently optimal L estimâtes for 1 < p < oo can be derived easily from the known results for the standard finite element method. Also quasi-optimal LTM and L estimâtes are obtained. Finally we analyze a quasi-linear problem obtaining similar results than in the linear case. Résumé. — On considère l'approximation par éléments finis mixtes des opérateurs elliptiques de deuxième ordre dans M. On montre que les estimations d'erreur dans la norme L peuvent s'obtenir à partir des propriétés de stabilité d'une projection L avec des poids dans l'ensemble des vecteurs à divergence nulle appartenant à l'espace des éléments finis. Comme on travaille en deux dimensions on montre que cette projection est liée à une projection de Ritz, En conséquence, des estimations d'erreur optimales en norme L pour 1 •< ƒ> < oo peuvent être déduites des résultats connues de la méthode des éléments finis classique. Aussi, estimations d'erreur quasi optimales dans les normes LTM et L ont été obtenues. Finalement, on considère un problème quasi linéaire pour lequel on obtient les mêmes résultats obtenus pour le cas linéaire.