On the characteristic values of linear integral equations

on the basis of the general analytic properties of the kernel K (x, ~) such as im tegrability, continuity, differentiability, analyticity and the like? The l i tera ture where this and analogous questions are t rea ted is v e r y considerable [HELLI~G~n-To~eLITZ, I]. ~ A relatively small par t of this l i terature, however, has points of contact with the present paper, the discussion of the majori ty of papers published on the subject being based on various special properties of the kernels. I t is assumed frequent ly tha t the kernel belongs to some special class of functions, or tha t it coincides with the Green 's funct ion of a different ial or integro-differential boundary value problem. Problems of this sort will be excluded f rom the scope of our paper a l though they are in teres t ing f rom a theoret ical point of view and impor tan t for the applications.

[1]  Mémoire sur la théorie des fonctions entières de genre fini , 1901 .

[2]  Ivar Fredholm.  Sur une classe d’équations fonctionnelles , 1903 .

[3]  Sur les fonctions entières d'ordre fini , 1907 .

[4]  E. Schmidt.  Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen , 1907 .

[5]  I. Schur.  Über die charakteristischen Wurzeln einer linearen Substitution mit einer Anwendung auf die Theorie der Integralgleichungen , 1909 .

[6]  M. Koch,et al.  Sur la convergence des déterminants infinis , 1909 .

[7]  Sur un théorème de M. Hilbert , 1910 .

[8]  H. Weyl.  Ueber die asymptotische Verteilung der Eigenwerte , 1911 .

[9]  Introduction à la théorie des équations intégrales , 1912 .

[10]  H. Weyl.  Das asymptotische Verteilungsgesetz der Eigenwerte linearer partieller Differentialgleichungen (mit einer Anwendung auf die Theorie der Hohlraumstrahlung) , 1912 .

[11]  W. H. Young.  On the Mode of Oscillation of a Fourier Series and of its Allied Series , 1913 .

[12]  W. H. Young.  On the Fourier Series of Bounded Functions , 1913 .

[13]  O. Szász.  Über die Approximation stetiger Funktionen durch lineare Aggregate von Potenzen , 1916 .

[14]  T. Carleman.  Über die Fourierkoeffizienten einer stetigen Funktion , 1916 .

[15]  A. Dakin,et al.  Lecons sur l'approximation des Fonctions d'une Variable Reelle , 1920, The Mathematical Gazette.

[16]  R. Gâteaux,et al.  Fonctions d'une infinité de variables indépendantes , 1919 .

[17]  St. Bóbr.  Eine Verallgemeinerung des v. Kochschen Satzes über die absolute Konvergenz der unendlichen Determinanten , 1921 .

[18]  T. Carleman.  Zur Theorie der linearen Integralgleichungen , 1921 .

[19]  W. H. Young,et al.  Lectures On The General Theory Of Integral Functions , 1923 .

[20]  Fonctions entières et fonctions méromorphes d'une variable , 1925 .

[21]  J. Tamarkin.  On Fredholm's Integral Equations, Whose Kernels are Analytic in a Parameter , 1926 .

[22]  M. Riesz.  Sur les maxima des formes bilinéaires et sur les fonctionnelles linéaires , 1926 .

[23]  J. Littlewood,et al.  Some new properties of fourier constants , 1927 .

[24]  E. Hille,et al.  On the Characteristic Values of Linear Integral Equations. , 1928 .

[25]  G. H. Hardy,et al.  Some properties of fractional integrals. I. , 1928 .

[26]  J. Littlewood,et al.  A convergence criterion for Fourier series , 1928 .

[27]  O. Szász.  Über die Fourierschen Reihen gewisser Funktionenklassen , 1928 .

[28]  Note on the Behavior of Certain Power Series on the Circle of Convergence with Application to a Problem of Carleman. , 1928, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America.

[29]  Über die Summierbarkeit von Fourierschen Reihen und Integralen , 1929 .

[30]  Helly.  Integralgleichungen und Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten , 1929 .

[31]  E. Hille.  Note on a Power Series Considered By Hardy and Littlewood , 1929 .

[32]  E. Hille,et al.  On the Theory of Linear Integral Equations. II , 1930 .

[33]  A. Ingham.  Note on a Certain Power Series , 1930 .

[34]  Magoichirô Watanabe.  On a Linear Integral Equation , 1915 .