Über den Verlauf der Abelschen Integrale bei den Kurven vierten Grades

Die nachfolgenden Untersuchungen beschaftigen sich mit der Aufgabe, bei den allgemeinen Kurven vierten Grades den Verlauf der Abelschen Integrale an den Kurven selbst zur unmittelbaren Anschauung zu bringen. Inzwischen durfen sie nur als ein erster Versuch in dieser Richtung betrachtet werden; denn sie sind weder methodisch durchgebildet noch umfassend genug, um als abschliesende Behandlung des Gegenstandes zu erscheinen. Immerhin hoffe ich, einen brauchbaren Anfang zu machen, ahnlich, wie ich dies fruher [Math. Annalen, Bd. 7 (1874) — vgl. die vorstehende Abh. XXXVIII] hinsichtlich des elliptischen Integrals bei den Kurven dritten Grades versuchte — ein Versuch, auf welchem dann Axel Harnack weiter gearbeitet hat [Math. Annalen, Bd.9 (1875), S.1ff. und S. 218 ff.]. Hier wie dort bildet das hauptsachliche Hilfsmittel die neue Art Riemannscher Flachen, welche ich damals einfuhrte (obgleich man dieselben Dinge minder bequem auch bei der gewohnlichen Riemannschen Flache wurde uberlegen konnen). Ich verwende sodann, bei dieser ersten Darstellung, in ausgiebiger Weise das Prinzip, komplizierte Verhaltnisse aus einfachen durch Grenzubergang entstehen zu lassen und so der Diskussion zuganglich zu machen. Indem ich von einem Ellipsenpaare als spezieller Kurve vierten Grades ausgehe, erhalt der Stoff eine Gruppierung und Begrenzung, die man vielfach als zufallig erkennen wird; auch wird man finden, das die Darstellung an manchen Orten nur skizzenhaft ist. Was mir wertvoll scheint, ist die Tendenz der Betrachtungen und die Art der Resultate; ich gebe der Hoffnung Raum, spater dieselben Dinge systematischer und vollstandiger, vielleicht unter Ausdehnung auf Kurven n-ten Grades, noch einmal vortragen zu konnen.