Ein neuer beweis eines satzes von E. Steinitz

Wenn ~ine Reihe von reellen Zahlen zwar konvergent, aber nicht absolut konvergent ist, kal, n man bekanntlich durch ~nderung der Reihenfolge der Glieder errelchen, dab die so gebildete Reihe einen beliebig vorgeschriebenen Wert annimmt. Was kann man dementsprechend sagen yon einer Reihe aus komplexen Gliedern oder allgemeiner aus Vektoren irgendeinel Oimension? Diese Frage hat E. STEINITZ in einer Arbeit im Journal Iiir Mathematik, 19I 3, 143, S. 128-175, im Zusammenhang mit der Theorie der konvexen K0rper beantwortet: der Summenbereich ist immer eine lineare Mannigfaltigkeit. Sein Beweis ist aber ziemlich kompliziert, was daran zu lieg'en scheint, dal~ dieses Problem nicht viel mit der Konvexiti~t zu schaffen hat. Ich habe einen Beweis erdacht, der ohne diesen Begriff arbeitet und mit dem man einfacher zum Ziele kommt. Der Anschaulichkeit halber arbeite ich mit komplexen Zahlen; $ jedoch kann alles, sogar w0rtlich, sofort auf einen beliebigen Vektorraum fibertragen werden. Ich will zuerst einen Hilfssatz, der schon an und ffir sich interessant ist, beweisen. Es sind gegeben n Vektoreu, al, d 2 , . . . , an, mit der S~mme Null; sie bilden also, wenn man sie aneina~der reiht, ei~ geschlossenes Polygon. Fi~r versctdede~w Anordnungen bel~ommt man verschiedene Polygone. Wenn alle Vektore~t z. B. absolul kleincr als i sind, kann man die Reihenfolge so w~ihlen, dab das ganze Polygon innerhalb ei~tes Kreises mit dem Radius k bleibt, wo k eine yon n unabhiinqige positive Zahl ist~). Der Beweis l~tl~t sieh folgendermaflen fiihren. Alle Vektoren soUen in einem Punkt P d e r Ebene angreifen. Dutch P ziehen wir eine Gerade' l , die mit keiner der Vektorenrichtungen zusammenfMlt, und wir konstruieren beiderseits die Resultante der so g~trennten Vektoren. Diese Resultanten, + R und R , sind, ~vie angedeutet, gleich grol], aber entgegengesetzt. Der Bequemlichkeit halber nehmen wir an, zr tier Winkel zwisehen l und R sei ~~-; dies ist immer zu erreichen,