Le q-dénombrement générique d'une espèce: Existence et méthode de calcul

For every species F of structures and every partition 2 = (21 ,/~2 . . . . ) of an integer n, let us denote by t~ = t~(F) the number of orbits under the natural action of the Young subgroup ~ = ~;.,,,~ ..... ~< ~ . on the set of all F-structures with underlying set In]. The goal of this text is to prove the existence and to compute the coefficients of a 'generic' formal power series of the form f . (q) = t . + ( t . + t . l .1)q + ( t . + t . e.z)q 2 q( tn -1 . 1 -in-2. 2 d/n-2.1,1 + tn 3.3)q 3 + ' " This series describes, for each value of k, the individual coefficient of qk in the q-enumeration of F-structures for every sufficiently large n. The q-enumeration considered here was introduced by H616ne D6coste 0989, 1993). It consists of a polynomial in q of degree n(n 1)/2 which interpolates between unlabeled enumeration (q = 0) and labeled enumeration (q = 1) of F-structures on n points. The existence of the generic q-series was suggested by D6coste (1989, 1993) after examining tables for small values of n. Resume Pour chaque esp6ce de structures F et chaque partage 2 = (21,)~2, ... ) d 'un entier n, d6signons par ta = tx(F) le nombre d'orbites de l 'action naturelle du sous-groupe de Young ~ = ~;~,,~. .... <~ ~ . sur l 'ensemble des F-structures dont I-n] est l 'ensemble sous-jacent. Le but du pr6sent texte est de d6montrer l'existence et de calculer les coefficients d 'une s6rie formelle ~g6n6rique>> de la forme f . (q) = t . + ( t . + t . 1 . 1 ) q + ( t . + tn_2.z)q 2 + ( t n l . l -In-2,2 4tn 2,1,1 + tn-3,3)q 3 + "" . Cette sbrie d6crit, pour chaque valeur de k, le coefficient individuel de qk dans le q-d6nombrement des F-structures pour toute cardinalit6 n suffisamment grande. Le q-d6nombrement * Corresponding author. 0012-365X/96/$15.00 © 1996 Elsevier Science B,V. All rights reserved SSDI 0 0 1 2 3 6 5 X ( 9 5 ) 0 0 1 2 8 X 60 H. Dbcoste, G. Labelle / Discrete Mathematics 153 (1996) 59-67 considbr6 ici a 6t6 introduit par Hbl6ne D6coste (1989, 1993). I1 consiste en un polyn6me en q de degr6 n(n i)/2 qui effectue une interpolation naturelle entre le d6nombrement non-6tiquet6 (q = 0) et le d6nombrement 6tiquet6 (q = 1) des F-structures su rn points. L'existence de la q-s&ie g6narique a 6t6 sugg&6e par Dbcoste (1989, 1993) suite/t l'examen de tables pour les petites valeurs de n.