Finiteness results for Hilbert's irreducibility theorem

Soient k un corps de nombres, O k son anneau d'entiers et f(t, X) E k(t)[X] un polynome irreductible. Le theoreme d'irreductibilite de Hilbert fournit une infinite de specialisations entieres t → t ∈ O k telles que f(t,X) reste irreductible. Dans cet article, nous etudions l'ensemble Red f (O k ) des t ∈ O k tels que f(t,X) est reductible. Nous montrons que Red f (O k ) est un ensemble fini sous des hypotheses assez faibles. En particulier, certains de nos enonces generalisent des resultats anterieurs obtenus par des techniques d'approximations diophantiennes. Notre methode est differente. Nous utilisons de la theorie elementaire des groupes, la theorie des valuations et le theoreme de Siegel sur les points entiers des courbes algebriques. En utilisant en fait la generalisation de Siegel-Lang du theoreme de Siegel, la plupart de nos resultats sont valables sur des corps assez generaux. On peut obtenir d'autres resultats en faisant appel a la classification des groupes finis simples. Nous en donnons un apercu dans la derniere section.