Sections des fibrés vectoriels sur une courbe

Let X be a smooth and proper algebraic curve of genus g ̂ 2. If E is a semistable vector bundie on X ofrank r and degrce r{g-1) (thus xW^O), does H°(X, £®L)=0 for L a generic line bundie of degree O? Thé answer is no in général, but is positive for smaiï values of r and (in characteristic p > 0) when £ is thé sheaf of locally exact differentials. Thé latter case implies that thé /?-Sylow's subgroups of îii (X} are rather big. 0. Soit X une courbe algébrique, propre, lisse, connexe, de genre g, définie sur un corps k algébriquement clos. Si E est un fibre vectoriel sur X, E a un rang r=r(£) et un degré rf=rf(£). Pour £^0, on définit la pente de E : X=Â,(£)=rf/r. La caractéristique d'Euler-Poincaré de £, X(£)=A°(£)-A (£), (où h(E)=dimkH(X, £)), est donnée par la formule de Riemann-Roch : X(£)=rf-r(^~l)=r(?L-(^-l)). Dans la suite, L désigne un faisceau inversible variable sur X, de degré 0. Les divers faisceaux L sont paramétrés par les points de la jacobienne Jde X. On a îc (£) = X (E®L) == h° (£®L) h (£®L). L'entier h° (£®L) peut varier (*) Texte reçu le 19 mars 1981. révisé le 15 juin 1981. Michel RAYNAUD, Université de Paris-Sud, Département de Mathématique, Bâtiment 425, 91405 Orsay Cedex, E.R.A. 653. BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 0037-9484/1982/103/S 5.00 © Gauthier-Villars