Polynômes et coefficients

Valiant definit des analogues algebriques des classes P et NP. Nous caracterisons les classes VP et VQP, d'ou une preuve simplifiee de VNP = VNPe et de la VQP-completude du determinant, et la preuve d'une conjecture de Burgisser. Les classes VPo et VNPo, definies sans constantes arbitraires, donnent facilement un lien entre la complexite d'un polynome et celle de sa fonction coefficient: VNPo est stable par passage a la fonction coefficient et reciproquement; supposer ce resultat pour VPo est equivalent a VPo = VNPo. Pour traiter le cas du degre non borne, il faut un calcul rapide des coefficients binomiaux, faisable en caracteristique positive et peu probable en caracteristique 0. Nous etudions enfin un probleme lie: l'effet de la derivation sur la complexite. Nous retrouvons le resultat de Kaltofen (le nombre de variables fait exploser la taille plus que l'ordre de derivation) et donnons un calcul simultane des derivees partielles.

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