The perturbed Tikhonov's algorithm and some of its applications

— The proximal point algorithm has known these last y e ar s many developments connected with the expansion of the variational convergence theory. Motivated by this fact and inspired by the work of A. Tikhonov and V. Arsénine in the context of convex optimization, we present a new algorithmfor searching a zero of a maximal monotone operator on a real Hilbert space. We study the perturbed vers ion of this algorithm and establish a critical comparison with the perturbed proximal point algorithm. We apply this new algorithm to convex optimization and to variational inclusions or, more particularly, to variational inequalities. Résumé. — Soient H un espace de Hilbert réel et T un opérateur maximal monotone de H. Nous considérons le problème (P) « Trouver x e H tel que 0 e Tx » . R. T. Rockafellar a développé, en 1976, un algorithme de résolution de ce problème : l'algorithme du point proximal. Exploitant l'essor de la théorie de la convergence variationnelle, B. Lemaire a étudié, quelques années plus tard, la version perturbée de cet algorithme pour T = 9/, opérateur sous-différentiel d'une fonctionnelle convexe, propre, semi-continue inférieurement. Nous avons, quant à nous, étudié plus récemment la version perturbée de l'algorithme général développé par R. T. Rockafellar et quelques-unes de ses applications. Inspirée par cette évolution et par les travaux de A. Tikhonov et V. Arsénine en optimisation convexe, nous introduisons, dans ce papier, un nouvel algorithme de résolution du problème (¥). Cet algorithme, appliqué à l'opérateur sous-différentiel d'une fonctionnelle convexe, propre, semi-continue inférieurement, coïncide avec Valgorithme classique dû à A. Tikhonov ; nous l'appelons encore, par extension, algorithme de Tikhonov. Comme pour l'algorithme du point proximal, nous étudions la version perturbée de Valgorithme de Tikhonov. Nous effectuons alors une comparaison critique de ces deux algorithmes. Nous continuons avec Vapplication de Valgorithme de Tikhonov au contexte de l'optimisation convexe, d'une part, et à la théorie des inclusions et inéquations variationnelles, d'autre part. Nous terminons par la présentation et l'analyse critique de quelques tests numériques simples, que nous comparons à ceux effectués avec l'algorithme du point proximal. (*) Manuscript received May 25, 1993. C) Lecturer, Université de Liège, Service de Mathématiques Générales, Institut de Mathématiques, 15, avenue des Tilleuls, B-4000 Liège (Belgique). M AN Modélisation mathématique et Analyse numérique 0764-583X/94/02/S 4.00 Mathematical Modelling and Numerical Analysis © AFCET Gauthier-Villars