Application of multiple shooting to the numerical solution of optimal control problems with bounded state variables

Algorithms for the numerical solution of optimal control problems with bounded state variables are developed. Two main cases are considered: either the control variable appears nonlinearly or the control variable appears linearly. In the first case, an extremal are touching the boundary or containing a boundary arc, is shown to satisfy a suitable two-point boundary value problem. In the second case, a numerical idea for solving the problem in statespace is presented which dispenses with the Lagrange-multipliers. Three numerical examples are discussed illustrating the efficiency of the different algorithms. The encountered two-point boundary value problems are solved with the method of multiple shooting.ZusammenfassungAlgorithmen zur numerischen Lösung von Steuerungsproblemen mit beschränkten Zustandsvariablen werden entwickelt. Zwei Fälle werden betrachtet: entweder tritt die Steuervariable nichtlinear auf oder sie tritt linear auf. Im ersten Fall wird gezeigt, daß eine Extremale, welche entweder die begrenzung berührt oder ein Stück auf der Begrenzung verläuft, Lösung eines geeigneten Zwei-Punkt-Randwertproblems ist. Im zweiten Fall wird eine numerische Idee beschrieben, welche eine numerische Lösung des Problems im Zustandsraum gestattet und auf die Lagrange-Multiplikatoren verzichtet. Drei numerische Beispiele werden diskutiert, welche die Effektivität der verschiedenen Algorithmen zeigen. Die dabei auftretenden Zwei-Punkt-Randwertprobleme werden mit der Mehrzielmethode gelöst.

[1]  D. O. Norris,et al.  Nonlinear programming applied to state-constrained optimization problems , 1973 .

[2]  D. Jacobson,et al.  New necessary conditions of optimality for control problems with state-variable inequality constraints , 1971 .

[3]  Arthur E. Bryson,et al.  Optimal programming problems with inequality constraints. ii - solution by steepest-ascent , 1964 .

[4]  P. Deuflhard.  A modified Newton method for the solution of ill-conditioned systems of nonlinear equations with application to multiple shooting , 1974 .

[5]  D. Jacobson,et al.  A transformation technique for optimal control problems with a state variable inequality constraint , 1969 .

[6]  Jr. W. Hamilton.  On nonexistence of boundary arcs in control problems with bounded state variables , 1972 .

[7]  R. Mehra,et al.  A generalized gradient method for optimal control problems with inequality constraints and singular arcs , 1972 .

[8]  H. W. Knobloch.  On optimal control problems with bounded state variables , 1972 .

[9]  H. Maurer,et al.  Numerical solution of singular control problems using multiple shooting techniques , 1976 .

[10]  K. H. Well,et al.  Modified quasilinearization algorithm for optimal control problems with bounded state , 1973 .

[11]  Walter F. Denham,et al.  Optimal measurement and velocity correction programs for midcourse guidance , 1963 .

[12]  Arthur E. Bryson,et al.  OPTIMAL PROGRAMMING PROBLEMS WITH INEQUALITY CONSTRAINTS , 1963 .

[13]  Arthur E. Bryson,et al.  Applied Optimal Control , 1969 .

[14]  J. Mcintyre,et al.  On Optimal Control with Bounded State Variables , 1967 .

[15]  J. Stoer.  Einfiihrung in die numerische mathematik i , 1972 .