Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffs aller reellen algebraischen Zahlen.

Unter einer reellen algebraischen Zahl wird allgemein eine reelle Zahlgrosse ω verstanden, welche einer nicht identischen Gleichung von der Form genugt: $${{a}_{0}}{{\omega}^{n}}+{{a}_{1}}{{\omega}^{n-1}}+\cdots +{{a}_{n}}=0,$$ (1.) wo n, a0, a1, ... a n ganze Zahlen sind; wir konnen uns hierbei die Zahlen n und a 0 positiv, die Coefficienten a0, a1, ... a n ohne gemeinschaftlichen Theiler und die Gleichung (1.) irreductibel denken; mit diesen Festsetzungen wird erreicht, dass nach den bekannten Grundsatzen der Arithmetik und Algebra die Gleichung (1.), welcher eine reelle algebraische Zahl genugt, eine vollig bestimmte ist; umgekehrt gehoren bekanntlich zu einer Gleichung von der Form (1.) hochstens soviel reelle algebraische Zahlen ω, welche ihr genugen, als ihr Grad n angiebt. Die reellen algebraischen Zahlen bilden in ihrer Gesammtheit einen Inbegriff von Zahlgrossen, welcher mit (ω) bezeichnet werde; es hat derselbe, wie aus einfachen Betrachtungen hervorgeht, eine solche Beschaffenheit, dass in jeder Nahe irgend einer gedachten Zahl α unendlich viele Zahlen aus (ω) liegen; um so auffallender durfte daher fur den ersten Anblick die Bemerkung sein, dass man den Inbegriff (ω) dem Inbegriffe aller ganzen positiven Zahlen v, welcher durch das Zeichen (v) angedeutet werde, eindeutig zuordnen kann, so dass zu jeder algebraischen Zahl w eine bestimmte ganze positive Zahl v und umgekehrt zu jeder positiven ganzen Zahl v eine vollig bestimmte reelle algebraische Zahl ω gehort, dass also, um mit anderen Worten dasselbe zu bezeichnen, der Inbegriff (ω) in der Form einer unendlichen gesetzmassigen Reihe: