Two Dimensional Splines and their Extremal Properties

Let (xν, yμ) be the mesh-points of a rectangular mesh. We consider the problem of finding functions with the property that the values of the function and of certain of its derivatives at the mesh-points lie in prescribed intervals. Among all admissible functions satisfying these conditions we are interested in thoses functions which have an additional minimum property. It is shown that the solution of this problem leads to two-dimensional spline functions. Es seien (xν, yμ) die Gitterpunkte eines rechtwinkligen Gitters. Wir betrachten das Problem, Funktionen zu finden, welche die Eigenschaft haben, das die Werte der Funktion und gewisser Ableitungen an den Gitterpunkten in vorgeschriebenen Intervallen liegen. Unter allen zulassigen Funktionen, die diesen Bedingungen genugen, interessieren wir uns fur diejenigen Funktionen, die eine zusatzliche Minimaleigenschaft haben. Es wird gezeigt, das die Losung dieses Problems auf zweidimensionale Spline-Funktionen fuhrt.