Explicit discontinuous Galerkin methods for magnetohydrodynamics

In this work, the explicit space-time expansion discontinuous Galerkin (STE-DG) method is adapted and applied to unsteady ideal and viscous magnetohydrodynamic (MHD) computations. With a special emphasis on shock-capturing and divergence correction of the magnetic field, enhancements to the STE-DG method are proposed that are necessary within the MHD context. Discontinuous Galerkin schemes enjoy continuously growing popularity, since they combine the flexibility in handling complex geometries, a variable adaptivity to the calculated problem and efficiency of parallel implementations. These are big advantages for modern numerical calculations of various fields of interest, also for MHD calculations e.g. in astrophysics or plasma physics. The presented STE-DG scheme can further enhance explicit computations by its local timestepping functionality, allowing each cell to run with its own determined timestep. The necessary local formulation adds additional constraints to the implementation of new equation systems and numerical ingredients and not every method is suitable. On the other hand it enables mechanisms that would generally be considered to be ineffective for explicit numerical schemes, since they would drastically decrease the timestep of the calculation. The proposed use of artificial viscosity for shock capturing falls in this category: Artificial viscosity is used to capture shocks with a high order scheme. The thereby caused strong influence on the scheme's timestep is substantially reduced by the local timestepping. For this purpose, suitable oscillation indicators were found and evaluated. For the divergence correction of the magnetic field, the local timesteps enable a sub-cycling feature to increase the correction efficiency. In addition, postprocessing and data reduction techniques are presented, that are especially of interest for high order schemes. Further more, the parallel efficiency of the STE-DG implementation and code development strategies are considered. To validate the STE-DG implementation for MHD and the proposed ingredients, several multi-dimensional test cases have been set up, including convergence studies and shock tube tests. The scheme is then applied to two- and three-dimensional more complex astrophysical test cases of larger computational scale. In dieser Arbeit wird die Anwendung des expliziten space-time expansion discontinuous Galerkin (STE-DG) Verfahrens fur die idealen und viskosen Gleichungen der Magnetohydrodynamik (MHD) beschrieben. Unter besonderem Hinblick auf Shock-Capturing und Divergenzkorrektur des magnetischen Felds werden Erweiterungen des STE-DG Verfahrens vorgeschlagen, die im Zusammenhang mit MHD-Rechnungen erforderlich werden. Discontinuous Galerkin Verfahren erfreuen sich einer wachsenden Beliebtheit, da sie eine grose Flexibilitat im Umgang mit komplexen Geometrien, eine variable Anpassung an das zu berechnende Problem und eine effiziente parallele Implementierung miteinander verbinden. Diese Vorteile machen sie fur moderne numerische Berechnungen in vielfaltigen Anwendungsgebieten, so auch Astro- und Plasmaphysik, interessant. Das hier vorgestellte STE-DG Verfahren kann dank expliziter lokaler Zeitschritte, bei denen jede Zelle im Rechengebiet ihren eigenen Zeitschritt hat, Berechnungen zusatzlich beschleunigen. Die dafur benotigte zell-lokale Formulierung birgt zum einen zusatzliche Komplexitat fur die Implementierung neuer Gleichungssysteme und numerischer Funktionalitaten; zum anderen ermoglicht sie Mechanismen, die fur herkommliche numerische Verfahren ungeeignet erscheinen, da sie sonst den Zeitschritt global zu stark beschranken wurden. Das hier vorgestellte Shock-Capturing fallt in diese Kategorie: Kunstliche Viskositat wird dazu verwendet, das Stos-Profil zu glatten und auflosbar zu machen. Die dadurch verursachte starke Zeitschritt-Reduktion wird vom Verfahren grostenteils aufgefangen. Hierfur wurden geeignete Indikatoren entwickelt und evaluiert. Bei der Divergenzkorrektur ermoglichen lokale Zeitschritte eine zusatzliche Effizienzsteigerung. Daruber hinaus werden Postprocessing-Strategien, sowie Ansatze zur Datenreduktion vorgestellt, die gerade bei Verfahren hoher Ordnung von Interesse sind. Auserdem werden Codeentwicklungsstrategien prasentiert. Fur die Validierung des Verfahrens und seiner numerischen Funktionalitaten werden schlieslich verschiedene mehrdimensionale Testbeispiele gerechnet, inklusive Konvergenzstudien und Stosrohr-Rechnungen. Das Verfahren wird dann auf zwei- und dreidimensionale grosere und komplexere Testbeispiele der Astrophysik angewandt.