Imbalances in Arnoux-Rauzy sequences

Dans un article de 1982, Rauzy a montre que le systeme (X, T) engendre par le morphisme 1 → 12, 2 → 13, 3 → 1 est un codage naturel d'une rotation sur le tore a deux dimensions T 2 , c'est-a-dire est mesurablement conjugue a un echange de trois domaines fractals sur un sous-ensemble compact de R 2 , chaque domaine etant code par une lettre et translate par le meme vecteur modulo un reseau. Plus generalement, il etait conjecture que chaque suite de complexite 2n + 1 satisfaisant une condition combinatoire dite condition * d'Arnoux et Rauzy est un codage naturel d'une rotation de T 2 . Dans cette note nous donnons un contre-exemple a cette conjecture. Nous construisons d'abord une suite d'Arnoux-Rauzy ω* qui est desequilibree dans le sens suivant: pour tout N > 0 il existe deux facteurs de ω* de meme longueur dont l'un contient au moins N apparitions d'une meme lettre de plus que l'autre. Nous invoquons ensuite un resultat de Rauzy sur les ensembles a restes bornes pour etablir l'existence d'une suite d'Arnoux-Rauzy qui n'est pas le codage naturel d'une rotation de T 2 .

[1]  Nathan Wozny,et al.  Frequencies of factors in Arnoux-Rauzy sequences , 2001 .

[2]  Sébastien Ferenczi,et al.  Transcendence of Numbers with a Low Complexity Expansion , 1997 .

[3]  Antonio Restivo,et al.  Fine and Wilf's Theorem for Three Periods and a Generalization of Sturmian Words , 1999, Theor. Comput. Sci..

[4]  R. Chacon,et al.  Weakly mixing transformations which are not strongly mixing , 1969 .

[5]  Giuseppe Pirillo,et al.  Episturmian words and some constructions of de Luca and Rauzy , 2001, Theor. Comput. Sci..

[6]  G. Rauzy.  Nombres algébriques et substitutions , 1982 .

[7]  Gérard Rauzy,et al.  Échanges d'intervalles et transformations induites , 1979 .

[8]  H. Kesten.  On a conjecture of Erdös and Szüsz related to uniform distribution mod 1 , 1966 .

[9]  Sébastien Ferenczi,et al.  Les transformations de Chacon : combinatoire, structure géométrique, lien avec les systèmes de complexité $2n+1$ , 1995 .

[10]  Gérard Rauzy,et al.  Représentation géométrique de suites de complexité $2n+1$ , 1991 .

[11]  Gérard Rauzy,et al.  Une g'en'eralisation du d'eveloppement en fraction continue , 1976 .

[12]  Gérard Rauzy.  Ensembles à restes bornés. , 1984 .

[13]  Luca Q. Zamboni,et al.  A generalization of Sturmian sequences: Combinatorial structure and transcendence , 2000 .

[14]  Minako Kimura,et al.  On Rauzy fractal , 1991 .

[15]  Luca Q. Zamboni.  Une généralisation du théorème de Lagrange sur le développement en fraction continue , 1998 .

[16]  Laurent Vuillon,et al.  Tilings and Rotations: a Two-dimensional Generalization of Sturmian Sequences , 2000 .

[17]  Sébastien Ferenczi,et al.  Structure of three interval exchange transformations I: an arithmetic study , 2001 .

[18]  A. Messaoudi.  Propriétés arithmétiques et dynamiques du fractal de Rauzy , 1998 .

[19]  A. Messaoudi,et al.  Frontiere du fractal de Rauzy et systeme de numeration complexe , 2000 .

[20]  P. Arnoux,et al.  Pisot substitutions and Rauzy fractals , 2001 .