Ûber koassoziierte Primideale III

Sei R ein kommutativer noetherscher Ring. In Fortsetzung von [6] und [9] wollen wir für spezielle Klassen von R-Moduln die Menge Koass(M) aller zu M koassoziierten Primideale untersuchen, d.h. die Menge { ∈ Spec(R) | = AnnR(M ′) für einen artinschen Faktormodul M ′ von M}. Für einen freien RModul F ist das Ergebnis wohlbekannt: Ist F endlich erzeugt = 0, gilt Koass(F ) = Max(R); ist F nicht endlich erzeugt, gilt Koass(F ) = Spec(R). Daraus folgt für jedes Primideal , das kein maximales Ideal ist: Genau dann ist koassoziiert zu F , wenn F als R -Modul nicht endlich erzeugt ist. Unser erstes Hauptergebnis (Satz 1.5) lautet, daß diese Charakterisierung nicht nur für jeden freien, sondern für jeden torsionslosen R-Modul M gilt. Zur weiteren Beschreibung der Ergebnisse dieser Arbeit sei ab jetzt M stets ein torsionsloser R-Modul, d.h. Untermodul eines direkten Produktes von Exemplaren des Ringes R. Mit Hilfe des Ideales I = ⋂{ ∈ Ass(M) | M ist als R -Modul nicht endlich erzeugt} und V (I) = { ∈ Spec(R) | I ⊂ } erhalten wir dann aus Satz 1.5 folgenden geschlossenen Ausdruck: (1.6) Koass(M) = { ∈ Max(R) | AnnR(M) ⊂ } ∪ V (I). Damit folgt aus ∈ Koass(M) sogar V ( ) ⊂ Koass(M), und im semilokalen Fall wird Koass(M) eine Zariski-abgeschlossene Teilmenge von Spec(R). Für die Menge Att(M) = { ∈ Spec(R) | = AnnR(M/ M)} aller zu M attachierten Primideale ist das immer richtig, denn wir zeigen in Satz 1.3, daß Att(M) = V (AnnR(M)) ist. Ist M ⊂ X eine injektive Hülle von M , so gilt bekanntlich Koass(X) ⊂ Ass(R) ([4, p. 145] oder [6, p. 200]). Wir fragen uns, wann auch Koass(M) ⊂ Ass(R) gilt und werden das durch die “Lage” von M in X beschreiben. Dabei spielen die Abschwächung Koass(M) ∩ Max(R) ⊂ Ass(R) und die Verschärfung Koass(M) ⊂ Ass(R) ∩ Max(R) eine wichtige Rolle, denn jede der drei Bedingungen gibt ein Maß dafür an, wie weit M von der Eigenschaft “injektiv”