The notion of a production function

SummaryThe mathematical notion of the production function is developed to relate input and output rates for unconstrained technological possibilities. It is shown that the structure of production may be expressed interchangeably, either by postulating the existence of a production functionΦ (X) satisfying certain properties or by a family of production possibility setsL (U), whenU is output rate,X is a vector of input rates,L (U) is the set of input rate vectors yielding at leastU, and $$\Phi (X) = \mathop {Max U}\limits_{L(U) \supset X} $$ . A class of production functions called homothetic is defined. This class is particularly useful in economic studies.ZusammenfassungIn der vorliegenden Arbeit wird ein mathematischer Begriff der Produktionsfunktion entwickelt, um im Falle unbeschränkter technologischer Möglichkeiten Faktor- und Produktquantitäten zucinander in Beziehung zu setzen. Es wird gezeigt, daß die Produktionsstruktur wechselweise ausgedrückt werden kann, entweder durch Postulierung der Existenz einer ProduktionsfunktionΦ (X) mit gewissen Eigenschaften oder mit Hilfe einer Familie von MengenL (U) von Produktionsmöglichkeiten, wobeiU eine Produktquantität,X ein Vektor von Faktorquantitäten,L (U) die Menge der Faktorvektoren, die mindestensU erzeugen, und $$\Phi (X) = \mathop {Max U}\limits_{L(U) \supset X} $$ ist. Ferner wird eine Klasse sogenannter homothetischer Produktionsfunktionen definiert, die bei ökonomischen Untersuchungen besonders nützlich ist.