Carl Friedrich Gauß, das 17-Eck und MATHEMATICA

Der achtzehnjährige Carl Friedrich Gauß (30.4.1777–23.2.1855), gerade Student an der Göttinger Universität Georgia Augusta geworden, überraschte 1796 die gelehrte Welt: Seine zahlentheoretischen Studien seit dem Winter 1795/96 führten ihn am 29. März 1796 zu der Entdeckung, daß und warum das regelmäßige 17-Eck ,geometrisch‘, d.h. ,mit Zirkel und Lineal allein‘ konstruierbar ist.1 Das war deshalb spektakulär, weil es der erste Fortschritt auf diesem Gebiet seit der Antike war: Schon Euklid hatte die Konstruierbarkeit von regelmäßigen Polygonen mit 3, 4, 5 und 15 Seiten, sowie indirekt (durch fortgesetzte Halbierung der Winkel) mit den Seitenanzahlen 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, ... ; 8, 16, 32, 64, 128, 256, ... ; 10, 20, 40, 80, 160, ... ; 30, 60, 120, 240, ... bewiesen. Es fehlten sonach 7, 9, 11, 13, 14, 17, ..., und dabei war es in den 2000 Jahren danach geblieben, so daß man dazu neigte anzunehmen, daß die Euklidschen regelmäßigen Polygone die einzigen konstruierbaren waren. Gauß’ Lehrer am Collegium Carolinum in Braunschweig, Eberhard Wilhelm August von Zimmermann, von Gauß über seine Entdeckung unterrichtet, äußerte sich am 18.4.1796 mit einer unterstützenden Bemerkung [4], die zusammen mit Gauß’ Mitteilung am 1.6.1796 im ,,Intelligenzblatt der allgemeinen Litteraturzeitung“ in Braunschweig publiziert wurde. So erfuhr die Öffentlichkeit von Gauß’ großer Entdeckung mit der Erwähnung, daß neben dem 17-Eck ,,weitere regelmäßige Vielecke“ (gemeint war insbesondere das 257-Eck und das 65537-Eck) auf diese Weise konstruiert werden können. Das regelmäßige 17-Eck ist also kein Zufallsfund. Gauß verfeinerte seine Untersuchungen und faßte sie im Sommer 1801 zusammen in seiner berühmten Arbeit Disquisitiones arithmeticae [6]. Damit ,,rückte Gauß mit einem Schlag in die Reihe der führenden Mathematiker Europas auf“ (Karin Reich). Gauß gab2 für die geometrische Konstruierbarkeit des N-Ecks die Bedingung an: ,,es ist erforderlich, daß N weder irgendeinen ungeraden Primfaktor, welcher nicht von der Form 22 ν + 1 ist, noch auch irgendeinen Primfaktor von der Form 22 ν + 1 mehrmals enthalte“. Das ist neben N = 15= 3 ·5 u.a. für N = 51= 3 ·17, N = 85= 5 ·17, N = 255= 3 ·5 ·17, N = 65535= 3 ·5 ·17 ·257 der Fall. Im Bereich bis 106 gibt es 206 geometrisch konstruierbare Polygone (Gauß schätzte sie zu