Un résultat d'irréductibilité en caractéristique non nulle

Deligne, Kazhdan and Vignéras proved that, for an inner form ofGLn over a zero characteristic p-adic field, the induced representation from a square integrable irreducible representation is irrreducible. Here we prove the case of non-zero characteristic. 1. Le théorème. Soient F un corps local non archimédien de caractéristique quelconque, D une algèbre à division centrale sur F , de dimension finie d2, r un entier strictement positif et G = GLr(D). Le but de ce papier est de montrer le théorème 1.1 plus bas quand le corps de base F est de caractéristique non nulle. Le cas de caractéristique nulle a été prouvé dans [DKV] (Théorème B.2.d) et c’est là qu’apparaît l’idée d’utiliser le théorème de Paley-Wiener. Leur preuve ne marche pas directement en caractéristique positive. On prouve ici le cas de caractéristique non nulle, en utilisant la méthode des corps proches de Kazhdan. THÉORÈME 1.1. Soit P un sous-groupe parabolique de G et soit P = LU une décomposition de Levi de P . Soit π une représentation de carré intégrable de L. Alors indGP π est irréductible. L’importance de ce théorème vient de ce qu’il permet de passer de la classification de Langlands à une classification plus fine, comme l’a montré Zelevinski dans [Ze] pour GLn et, à sa suite, Tadić dans [Ta] pour les formes intérieures. Dans [Ta], l’auteur se place en caractéristique nulle et le résultat que nous prouvons ici permet de lever cette contrainte. 2. Notations et conventions. On note Ψ (G) l’ensemble des caractères lisses non ramifiés de G. L’ensemble Ψ (G) admet une structure naturelle de variété algébrique. Si π est une représentation admissible deG, on note Ψ (G;π) l’ensemble de classes de représentations du type ψ ⊗ π , ψ ∈ Ψ (G) (Ψ(G;π) a une structure de variété algébrique isomorphe à un quotient de la variété Ψ (G)). On note Grot(G) le groupe de Grothendieck des représentations lisses de longueur finie de G. Grot(G) admet deux Z-bases remarquables, l’une formée des classes des représentations irréductibles, l’autre formée des classes des représentations de Langlands (voir les paragraphes suivants). Par la suite, nous regarderons une représentation de G comme un élément de Grot(G) quand aucune confusion n’est possible. Un sous-groupe parabolique de G est dit standard s’il contient le groupe des matrices triangulaires supérieures, et un sous-groupe de G est dit sous-groupe de Levi standard si 2000 Mathematics. Subject Classification. Primary 20G05; Secondary 20G25, 20G30.