Der Euklidische Algorithmus in quadratischen Körpern.

Existiert in einem absolut quadratischen Zahlkörper K(]/m), m ganz rational^ quadratfrei, zu je zwei ganzen Zahlen und /? 0 eine dritte ganze Zahl derart, daß \ («)\<\ ( )\ ist, so sagen wir, K(]fm) besitze den Euklidischen Algorithmus, kurz: den E. A. Unter den imaginären K(]/m) haben nach Dickson) genau die fünf Körper mit m = — l ,—2, —3, —7, —11 den E. A. Bei den reellen K(}/m) existiert der E. A. für m = 2, 3, 5, 6, 7,11,13,17,19, 21, 29, 33, 37, 41. Bis auf m = 19 und die drei letzten von Oppenheim) und Remak) behandelten Fälle geht dies auf Perron) zurück. m = 19 wurde von Berg) behandelt; derselbe bewies auch, daß im Falle m l (mod 4) außer den hier genannten Körpern keine weiteren mit E. A. existieren, nachdem schon Hofreiter) die Restklasse 14 (mod 24), Oppenheim die Fälle m = 23, 31 erledigt hatte. Letzterer bewies die Nichtexistenz auch für m = 53, welcher Fall unter die hier folgenden allgemeineren Resultate fällt. In dieser Arbeit, deren Resultate uns größtenteils schon im Oktober 1934 bekannt waren, bringen wir u. a. nochmals Beweise für die Resultate Bergs. Es scheint uns nämlich, daß wir das Problem allgemeiner in Angriff genommen haben, als dies bis jetzt geschah. Denn zunächst setzen wir auseinander, welche Fälle von vorneherein nur in Frage kommen können. Dies geschieht in 1. Dann aber greifen wir auch alles von einem umfassenden Gesichtspunkt aus an durch Aufstellung eines Hilfssatzes in 2, auf dem alle Nichtexistenzbeweise des E. A. im folgenden beruhen. So können wir in 3 und 4 kürzer als Berg den Fall m l (mod 4) erledigen. In 5 wird m = 19 diskutiert. Im Gegensatz zu Berg führen wir dies detailliert aus, da der Existenzbeweis für diesen Fall schwieriger ist als für die übrigen oben genannten Fälle. Unser Beweis ist ökonomischer als der Bergsche, da bei uns nur zehn Koordinatenpaare, bei Berg aber deren fünfzehn benötigt werden. Die Abschnitte 6 bis 10 beschäftigen sich mit dem Fall m = l (mod 4). In 6 stellen wir nämlich einen allgemeinen Satz auf, mit dessen Hilfe man in gewissen Fällen auf