Puits de potentiel généralisés et asymptotique semi-classique

The typical problem treated in this paper concerns the anharmonic oscillator with symmetric double wells: P(h)=−h 2 d 2 /dx 2 +x 4 −x 2 . In particular we study, modulo O(h ∞ ), the eigenvalues of P(h) in the energy band associated with the double wells (here: ]−1/4,0[). We obtain also some results near the minimum of classical energy. The method uses a functional and symbolic calculus for h-dependent pseudo-differential operators and a Fourier Integral Theory which appear in the BKW method and in the Maslov theory. Our technics allow us to treat a large class of hamiltonians with symmetries and can be applied to cases of dimension >1 On considere l'oscillateur anharmonique a double puits symetriques: P(h)=−h 2 d 2 /dx 2 +x 4 −x 2 . On etudie les valeurs propres de P(h), modulo O(h ∞ ), dans la bande d'energie associee aux 2 puits (]−1/4,0[). On obtient des resultats pres du minimum de l'energie classique. La methode utilisee repose sur un calcul symbolique et fonctionnel d'operateurs dependant du petit parametre h et sur une theorie des operateurs integraux de Fourier apparentee a la methode BKW et aux travaux de V. P. Maslov. Les outils utilises sont suffisamment generaux pour traiter une classe assez large d'hamiltoniens possedant des symetries et ne sont pas limites au cas de la dimension 1