Når matematikere undersøger matematik

I denne artikel vil vi beskrive hovedresultaterne fra et kvalitativt interviewstudie vi har lavet af 13 aktive matematikeres praksis. Vi vil kort beskrive hvordan matematikere vælger problemer, hvordan de griber arbejdet med problemerne an, og hvilke aspekter af deres arbejde de præsenterer i forskningsartikler. Til sidst vil vi diskutere hvorvidt viden om professionelle matematikeres praksis kan og bør have indflydelse på diskussioner omkring undervisningsfaget matematik. Vi vil i den forbindelse beskrive hvordan resultaterne fra vores undersøgelse har betydning for diskussionerne om hvordan elever skal arbejde med (1) problemer og (2) repræsentationer, metaforer og IT-værktøjer. 1: Forskningspraksis og undervisningspraksis omkring matematiske undersøgelser Hvordan arbejder man undersøgende med matematik? Hvad vil det sige at være på jagt efter et godt matematisk problem? Hvordan finder man problemer, og hvordan går man i gang med at løse dem? Hvilke værktøjer og repræsentationer bringer man i spil i arbejdet? Matematisk problembehandling, repræsentation og værktøjsbrug anses ofte for at være nogle af de vigtigste mål for matematikundervisning både nationalt (Niss, Højgaard Jensen & Undervisningsministeriet, 2002; Undervisningsministeriet, 2010) og internationalt (OECD, 2013). I denne artikel vil vi søge inspiration til elevers undersøgende arbejde med matematik ved at studere matematikforskeres arbejde med problemvalg, problemløsning og brug af repræsentationer og teknologi. Vi vil også diskutere i hvilken grad professionelle matematikeres praksis giver brugbar viden til diskussionerne om hvordan elever bør arbejde undersøgende i matematikundervisningen. 97761_mona-4-2014_.indd 42 10-11-2014 08:23:03 Når matematikere undersøger matematik 43 A R T I K L E R MONA 2014‐4 Inden for naturfagsdidaktik har der i de seneste par årtier været øget fokus på at undervise i undersøgende processer frem for udelukkende at tilegne sig fakta (Alberts, 2013; European Commission, 2007; National Research Council (U.S.), 1996). Denne bevægelse går under betegnelsen “Inquiry Based Science Education” (IBSE) og har stor betydning i både europæisk og amerikansk uddannelsespolitik og -forskning. Denne procesorienterede tilgang er i en række store europæiske projekter udvidet til at dække matematik, og man taler derfor om “Inquiry Based Mathematics Education” (IBME) eller “Inquiry Based Science and Mathematics Education” (IBSME) (Baptist, 2012; Dorier & Maaß, 2012). Et af de væsentligste udgangspunkter for inquiry-tilgangen til undervisning er at eleven skal lære at udforske verden på en måde der er sammenlignelig med forskerens undersøgelser. Denne tilgang ligger på sin vis i naturlig forlængelse af en længere tradition for at fokusere på undersøgende aktiviteter i matematikundervisning. I angelsaksisk sammenhæng betegner man ofte et sådant fokus med udtrykket “konstruktivistisk pædagogik” eller en “reformtilgang” til matematikundervisning (Boaler, 2002; Cobb & Yackel, 1996). I centraleuropæisk sammenhæng har teorien om didaktiske situationer (Brousseau, 1997) og realistisk matematikundervisning (Freudenthal, 1991) haft stor betydning for et sådant processuelt fokus. Den seneste IBSME-trend adskiller sig dog fra den tidligere tradition ved eksplicit at italesætte forskning og undervisning som kontinuert forbundne (typisk med henvisningen til Deweys forståelse af begrebet “inquiry”) hvorved det også er meningsfuldt at bruge forskeres praksis som relevant inspiration for undervisning og at italesætte undervisningsprocesser som forskning og undersøgelsesveje (European Commission, 2007; Winsløw, Matheron & Mercier, 2013). Accepteres denne nære relation mellem forskning og uddannelse, er det væsentligt at lærere og uddannelsesforskere har en god forståelse af matematisk forskningspraksis. Det er vores ærinde med denne artikel at bidrage hertil ved at beskrive hovedresultaterne af en empirisk undersøgelse af matematikeres forskningspraksis og ved at give vores eget bud på hvordan disse resultater relaterer sig til to diskussioner inden for matematikkens didaktik, nemlig diskussioner af hvordan elever skal arbejde med problemer og med repræsentationer og værktøjer. Arbejdet med matematiske problemer, repræsentationer og teknologier Arbejdet med matematiske problemer står centralt i matematikkens didaktik. I den danske rapport Kompetencer og matematiklæring (Niss et al., 2002) og i efterfølgende nationale curricula for grundskolen fremhæves “problembehandlingskompetencen” der drejer sig om at kunne løse og opstille matematiske problemer. Udvikling af elevers evne til problemløsning har i det hele taget stået centralt i matematikkens didaktik (Pólya, 1945; Schoenfeld, 1992; Leikin & Pitta-Pantazi, 2013). Og arbejdet med at opstille matematiske problemer har ligeledes været dyrket som et selvstændigt område (Silver, 97761_mona-4-2014_.indd 43 10-11-2014 08:23:03 MONA 2014‐4 44 A R T I K L E R Mikkel Willum Johansen & Morten Misfeldt 1994; Walter & Brown, 2005) hvor opstilling af problemer ses som en måde at arbejde med at gøre matematikken vedkommende for børn, blandt andet gennem modelleringsaktiviteter og ved at understøtte en løbende diskussion af hvilke situationer og spørgsmål der kan betragtes som matematiske. Matematiske aktiviteter har altid benyttet sig af repræsentationer og værktøjer. I KOM-rapporten fremhæves da også både en repræsentationskompetence, en symbolog formalismekompetence og en hjælpemiddelkompetence (Niss et al., 2002). Matematikkens semiotiske natur giver nogle særlige begrebsmæssige udfordringer fordi elever skal kunne skifte imellem forskellige måder at repræsentere det samme begreb på (Duval, 2006), og fordi de repræsentationer og værktøjer elever vælger at anvende har indflydelse på deres matematiklæring og på hvad de kan gøre med matematik (Hoyles & Lagrange, 2010; Trouche, 2005). Det er til tider vanskeligt at bringe brugen af digitale værktøjer i en retning der understøtter at eleven arbejder med matematikken og ikke blot får computeren til at løse opgaven for sig (Misfeldt, 2014). Endvidere kan de værktøjer og repræsentationer som man benytter sig af i matematik, få en særlig betydning for matematiklæring fordi de kommer til at spille en metaforisk rolle for dannelsen af matematiske begreber (se fx Núñes, 2004). Sammenhængen mellem forskning og undervisning – inspiration og kritik eller transport af matematiske processer Udgangspunktet for artiklen er den aktuelle diskussion om at udvide Inquiry Based Science Education til matematik, og artiklens empiriske indhold er en rapport over matematikeres forskningspraksis. Dermed bliver det vigtigt at forholde sig til ligheder og forskelle mellem forskningspraksis og elevens praksis i undervisningen. Forskning i matematik er stærkt specialiseret og på mange måder en praksis der ligger langt fra undervisning. Alligevel er det naturligt at forholde sig til forskernes praksis når man overvejer hvad skolefaget matematik skal sigte imod. Således beskriver Schoenfeld (1992) det at “tænke som en matematiker” som et af matematikundervisningens mål, og flere didaktiske teoridannelser forholder sig til dette samspil. For Brousseau er der en klar kontinuitet mellem elevens arbejde med miljøet og forskeres arbejde med at udvikle ny matematik. Det er lærerens opgave at sikre at eleverne oplever at udvikle ny matematik (Brousseau, 1997). Denne idé er udtalt hos Freudenthal (1991) der beskriver dette arbejde som “guided reinvention” og lægger særlig vægt på at eleverne arbejder i situationer (eller miljøer) der lægger op til meningsfuld matematisering. Leone Burton (2004), der har undersøgt professionelle matematikeres arbejdspraksis fra et pædagogisk perspektiv, har det udgangspunkt at der er en sammenlignelighed mellem det at lære og det at opdage/udvikle ny matematik (mere om Burtons undersøgelse i næste afsnit). På trods af disse argumenter er der også problemer forbundet med at tage sam97761_mona-4-2014_.indd 44 10-11-2014 08:23:03 Når matematikere undersøger matematik 45 A R T I K L E R MONA 2014‐4 menhængen mellem voksnes forskning og børns læring for givet idet både mål og kontekst er vidt forskellige i de to situationer. Matematikundervisningen på stort set alle niveauer må nødvendigvis sigte på mange andre karriereveje end forskning, og der er en implicit fare for at komme til at privilegere forskerkarrieren (frem for fx matematiks rolle i hverdagsliv, demokrati og produktion) ved at dyrke sammenligningen mellem forsker og matematikelev. Desuden er der helt forskellige institutionelle betingelser for det matematiske arbejde forskere og elever gennemfører (Winsløw, 2013). Hvad ved vi om forskningsmatematikkens praksis? I den sidste halvdel af det 20. århundrede har der fra flere sider været en øget interesse for matematikkens praksis. I matematikkens filosofi kan Davis & Hersh (1981) og Lakatos (1976) ses som tidlige eksempler, og i dag er “philosophy of mathematical practice” (Mancosu, 2008) en etableret underdisciplin af matematikkens filosofi hvor matematikkens praksis belyses både via arkivstudier af særlig indflydelsesrige matematikeres arbejde og via empiriske undersøgelser. Specielt er matematikeres vurdering af og syn på formelle beviser blevet belyst i både kvalitative og kvantitative studier (Müller-Hill, 2011; Inglis et al., 2013). Tilsvarende findes der inden for matematikkens didaktik flere didaktisk orienterede empiriske studier af matematikkens praksis (Misfeldt, 2006; Inglis & Alcock, 2012). Den største og mest indflydelsesrige undersøgelse er dog Leone Burtons interviewundersøgelse af 70 forskeres opfattelse af deres arbejde med matematik (Burton, 2004). Studiet viser at matematikere oplever de undersøgende processer, hvor de får idéer og finder nye problemer og sammenhænge, som følelsesmæssigt givende. Spændingen ved at udforske ukendt land er en væsentlig drivkraft i matematikernes arbejde, og det samme er nydelsen ved at finde løsninger og den æstetiske