On a plate supported by an elastic foundation and containing a finite crack

AbstractUsing an integral formulation, the equation for a plate resting on an elastic foundation, of a spring constant k and containing a crack of length 2c, is solved for the Kirchhoff bending stresses. The inverse square root singular behavior of the stresses peculiar to crack problems is obtained. Furthermore, this singularity may be related to that found in an unsupported plate by $$\frac{{\sigma _{y_{sup.} } }}{{\sigma _{y_{unsup} .} }} \approx \frac{1}{{1 + a\lambda ^2 }}$$ where a is for small values of the parameter λ is a positive constant.RésuméA l'aide d'une formule d'intégration, on a résolu l'équation d'une plaque reposant sur un support de constante élastique k, comportant une fissure de longueur 2e, et soumise à des contraintes de flexion de Kirchhoff. On aboutit à une distribution des contraintes dont l'amplitude varie en raison inverse du carré de la distance, comportement singulier propre aux problèmes de fissuration.En outre, cette singularité pent etre mise en balance avec celle que l'on trouve dans une plaque non supportée, par l'expression: $$\frac{{\sigma _{y_{sup.} } }}{{\sigma _{y_{unsup} .} }} \approx \frac{1}{{1 + a\lambda ^2 }}$$ où a est une constante positive pour de petites valeurs du paramètre λ.ZusammenfassungFür eine auf einem elastischen Fundament (Elastizitätskonstante k) ruhende Platte, welche einen Riß der Länge 2c aufweist und Kirchhoff Biegebeanspruchungen ausgesetzt ist, konnte die Gleichung mit Hilfe einer Integralformel gelöst werden.Es ergibt sich das den Rißproblemen eigene singulare Gesetz des umgekehrten Verhältnisses zur Quadratwurzle. Außerdem kann these Singularität mit der für eine nicht gestützte Platte ermittelten über die Gleichung: $$\frac{{\sigma _{y_{sup.} } }}{{\sigma _{y_{unsup} .} }} \approx \frac{1}{{1 + a\lambda ^2 }}$$ in Zusammenhang gebracht werden, wobei a für kleine Werte des Parameters λ eine positive Konstante ist.