Estimation de la transition de probabilité d'une chaîne de Markov doëblin-récurrente. étude du cas du processus autorégressif général d'ordre 1

Nous considerons une chaine de Markov homogene {Xn}. Nous estimons la densite de sa probabilite de transition a l'aide d'estimateurs a noyaux. Nous appliquons ces methodes a l'estimation de la fonction f, supposee inconnue, du processus defini par X1 et Xn+1 = f(Xn)+[var epsilon]n ou {[var epsilon]n} est un bruit (suite de variables aleatoires independantes equidistribuees) de loi inconnue. Les vitesses de convergence en moyenne quadratique integree sont identiques a celles des estimations classiques de densites. Nous utilisons ce type de risque pourobtenir des informations globales au sujet des estimees. Nous montrons aussi que ces risques passent par un minimum lorsque la variance du bruit evolue. Enfin, nous estimons la variance du bruit par plusieurs methodes. We consider an homogenous Markov chain {Xn}. We estimate its transition probability density with kernel estimators. We apply these methods to the estimation of the unknown function f of the process defined by X1 and Xn+1 = f(Xn) + [var epsilon]n, where {[var epsilon]n} is a noise (sequence of independent identically distributed random variables) of unknown law. The mean quadratic integrated rates of convergence are identical to those of classical density estimations. These risks are used here because we want some global informations about our estimates. We also study the average of those risks when the variance changes; it is shown that they reach a minimal value for some optimal variance. We study uniform convergence of our estimators. We finally estimate the variance of the noise and its density.