Über die Enden topologischer Räume und Gruppen

Obzwar die Eigenschaften im Kleinen einer Lieschen kontinuierlichen Gruppe in hohem Maße ihre Eigenschaften im Großen bestimmen, leistet die Liesche Theorie doch wenig für die Erkenntnis dieser Eigenschaften. Erweiterungen des Begriffes der kontinuierlichen Gruppe erleichtern den Einblick in ihre topologischen Eigenschaften. Man läßt die Voraussetzung der Differenzierbarkeit fallen und deutet die Gruppenelemente als Punkte einer topologischen Mannigfaltigkeit oder sogar eines topologischen Raumes. Wenn man nun von einem gegebenen topologischen Gebilde entscheiden will, ob es sich als Gruppe eignet oder nicht, so kommt man häufig schon mit einfachen Kriterien sehr weit. Solche Forderungen, die ein Gruppenraum erfüllen muß, sind die Homogeneität, ferner nach Schreier) die Kommutativität der Wegegruppe; dann z. B. für geschlossene Mannigfaltigkeiten das Verschwinden der Eulerschen Charakteristik, das nach H. Hopf) notwendig für die Existenz fixpunktfreier Deformationen ist. Ein anderes Kriterium findet sich bei Leja), der direkt die bereits durch L. E. J. Brouwer) und Schreier) bekannte Tatsache beweist, daß die mehr als einmal gelochte Ebene nicht Gruppenmannigfaltigkeit sein kann.