Topological properties of two-dimensional number systems

Pour une matrice reelle M d'ordre 2 donnee, on peut definir la notion de representation M-adique d'un element de R 2 . On note F le domaine fondamental constitue des nombres de R 2 dont le developpement M-adique ne commence pas par 0. C'est l'analogue dans R 2 des nombres q-adiques, ou la matrice M joue le role de la base q. Katai et Kornyei ont demontre que F est compact, et que R 2 s'ecrit comme la reunion denombrable de certains translates de F, l'intersection de 2 quelconques d'entre eux etant de mesure nulle. Dans cet article, nous construisons des points qui appartiennent simultanement a trois translates de F, et nous montrons que F est connexe. Nous donnons aussi une propriete sur la structure des points interieurs de F.