Equivalence de deux inéquations variationnelles et applications

Soit f2 un ouvert born6 de ]R n de fronti6re r6guli6re F. On utilisera dans la suite les notations suivantes: H A (t2) = v ~ L 2 (f2); ~ e L 2 (f2) et v = 0 sur F et Hl'~~ est l'espace des fonctions (uniform6ment) lipschitziennes sur et H~'~176176176 Si v~Hl'~176 on pose IV(Xl)-V(Xz)l Ilvl[1,~= Sup x,,x2~O [Xl-Xz[ Xl ~X2 Enfin on d6signe par 6(x) la distance de xEf2 ~ F. On consid~re le probl~me suivant (qui intervient dans l'6tude de la torsion 61asto-plastique cf. [5], [11]): Etant donn6s f6L2(~'2) et 2>0, trouver u~Kl= {v~H~' ~176 Ilvll 1, c~ ~ 1} tel que (av aU) dx<_O V vEK1. 0x,-Le probl~me (1) est un exemple particulier d'in6quation variationnelle (of. [4], [6], [8]) et admet une solution unique. On montre au w I que, sous certaines hypoth&es, le probEme (1) est 6quivalent au probl~me suivant: trouver u eK2 = {veH~ (~2); I v(x)[ < 6 (x)p.p. sur ~} tel que (2) (avau) ,x o i=1 " (on notera que (2) admet aussi une solution unique). On indique au w II diverses techniques permettant de calculer la solution de (2). I1 est clair qu'en analyse num6rique les contraintes de type K 2 sont plus simples/t repr6senter que celles de type Kt ; d'ofi l'int6rSt de cette re&bode pour la r6solution de (1).