Une Théorie des Constructions Inductives

L'objet de cette these est la meta-theorie du Calcul des Constructions Inductives (CCI), c'est a dire les Calcul des Constructions etendu par des types et des predicats inductifs. Le Calcul des Constructions a ete presente en 1985 par Thierry Coquand. Il s'agit d'un lambda-calcul type qui, a travers l'isomorphisme dit de Curry-Howard, peut-etre vu comme un formalisme logique. Ce systeme qui etend a la fois la logique d'ordre superieur de Church et les systemes de Martin-Lof est particulierement expressif du point de vue algorithmique et peut facilement etre mis en oeuvre sur ordinateur. Dans le Calcul des Constructions originel, les types de donnees (entiers, listes, sommes, etc) sont representes dans le lambda-calcul a travers un codage impredicatif. Cette solution est elegante mais conduit a un certain nombre de difficultes pratiques et theoriques. Pour y remedier, Thierry Coquand et Christine Paulin-Mohring on propose d'etendre le formalisme par un mecanisme generique de definitions inductives. C'est cette extension, utilisee dans le systeme Coq, qui est etudiee dans cette these. Le resultat essentiel est que le systeme verifie bien la propriete de normalisation forte. On en deduit les proprietes de coherence logique, de confluence et de decidabilite du typage. L'aspect le plus spectaculaire de l'extension par des types inductifs est la possibilite de definir de nouveaux types et de nouvelles propositions par recurrence structurelle (elimination forte). Cette caracteristique, qui donne toute sa signification a la notion de types dependants, augmente enormement le pouvoir de la regle de conversion, et par la, la difficulte de la preuve de normalisation. L'interpretation de l'elimination forte dans une preuve de normalisation par reductibilite est la nouveaute essentielle de ce travail. De plus, nous considerons ici un systeme avec eta-conversion. Une consequence est que la propriete de confluence n'est plus combinatoire et doit etre prouvee apres la normalisation, ce qui augmente a nouveau la difficulte de la preuve de celle-ci. A ce titre, nous presentons egalement quelques resultats nouveaux sur des systemes non-normalisants qui montrent que pour des lambda-calculs types, la propriete de confluence est logique et non combinatoire.