Quadratically constrained quadratic programming: Some applications and a method for solution

AbstractThe problem (QPQR) considered here is: minimizeQ1 (x) subject toQi (x) ⩽ 0,i ∈ M1 ≔ {2,...,m},x ∈P ⊂Rn, whereQi (x), i ∈ M ≔ {1} ∪M1 are quadratic forms with positive semi-definite matrices, andP a compact nonempty polyhedron of Rn. Applications of (QPQR) and a new method to solve it are presented.Letu ∈S={u ∈Rm;u ⩾ 0, Σui= l}be fixed;then the problem:i∈M minimize ΣuiQi (x (u)) overP, always has an optimal solutionx (u), which is either feasible, i∈M i.e. u ∈ C1 ≔ {u ∈S;Qi (x (u)) ⩽ 0,i ∈M1} or “unfeasible”, i.e. there exists ani ∈M1 withu ∈ C ≔ {u ∈S; Qi(x(u)) ⩾ 0}.Let us defineCi ≔ Ci ∪Si withSi ≔ {u ∈S; ui=0}, ∀i ∈M. A constructive method is used to prove that ∩Ci is not empty and thatx (û) withi∈M û ∈∩ Ci characterizes an optimal solution to (QPQR). Quite attractive numerical results have been reached with this method.ZusammenfassungDie vorliegende Arbeit befaßt sich mit Anwendungen und einer neuen Lösungsmethode der folgenden Aufgabe (QPQR): man minimiere eine konvexe quadratische ZielfunktionQi (x) unter Berücksichtigung konvexer quadratischer RestriktionenQi (x) ⩽ 0, i∈M1 ≔ {2,...,m}, und/oder linearer Restriktionen.·Für ein festesu ∈S ≔ {u ∈Rm;u ⩾ 0, Σui=1},M ≔ {1} ∪ M1 besitzt das Problem:i∈M minimiere die konvexe quadratische Zielfunktion Σui Qi (x (u)) über dem durch die lineareni∈M Restriktionen von (QPQR) erzeugten, kompakten und nicht leeren PolyederP ⊂Rn, immer eine Optimallösungx (u), die entweder zulässig ist: u ∈ C1 ≔ {u ∈S;Q1 (x (u)) ⩽ 0,i ∈M1} oder „unzulässig“ ist, d.h. es existiert eini ∈M1 mitu ∈ Ci ≔ {u ∈S;Qi (x(u))⩾0}.Es seien folgende MengenCi ≔ Ci ∪Si definiert, mitSi ≔ {u ∈S;ui=0}, ∀i ∈M. Es wird konstruktiv bewiesen, daß ∩Ci ≠ 0 undx (û) mitû ∈ ∩Ci eine Optimallösung voni∈M i∈M (QPQR) ist; damit ergibt sich eine Methode zur Lösung von (QPQR), die sich als sehr effizient erwiesen hat. Ein einfaches Beispiel ist angegeben, mit dem alle Schritte des Algorithmus und dessen Arbeitsweise graphisch dargestellt werden können.