Assimilation de données par filtrage pour les systèmes hyperboliques du second ordre - Applications à la mécanique cardiaque. (Filtering based data assimilation for second order hyperbolic PDEs - Applications in cardiac mechanics)

L'objectif est de formuler des methodes d'assimilation de donnees adaptees a la simulation du comportement mecanique du coeur tout au long d'un battement cardiaque, afin de beneficier du developpement des techniques d'imagerie et de l'interet croissant des cliniciens pour la simulation numerique. Nous presentons une strategie originale par filtrage, adaptee a l'estimation de systemes mecaniques, et plus generalement de systemes hyperboliques du second ordre, avec des conditions initiales et des parametres inconnus. La trajectoire est estimee via des observateurs de Luenberger efficaces exploitant la stabilisation par feedback a des fins d'estimation. A la difference d'approches Kalmaniennes classiques, ces filtres peuvent etre numeriquement adaptes a des systemes issus de la discretisation d'EDPs, et la stabilite exponentielle du systeme de l'erreur d'observation assure la convergence de l'estimateur. Ainsi, nous analysons en particulier la strategie collocalisee du "Direct Velocity Feedback" utilisee en controle des structures. Nous formulons aussi une methode originale dans le cas de mesures de positions, et par extension de contours dans une image. Pour les parametres, nous etendons ensuite l'estimateur en ajoutant une dynamique parametrique fictive. Les observateurs d'etat precedents restreignent alors l'incertitude a l'espace parametrique afin d'y appliquer des filtres de rang reduit H2 ou Hinfini. La convergence de l'estimateur en resultant est mathematiquement demontree, et illustree en estimant des parametres distribues de type raideurs et contractilites, avec la perspective d'aide au diagnostic de regions infarcies du muscle cardiaque.