Convex approximations of functionals with curvature

— We address the numerical minimization of the functional &(v) = J \Dv| + J \wd%~ — Q dû — jxvdx, for veBV(û; { — 1,1}). W e note that & can be equivalently minimized on the larger, conQ vex, set BV(Q, [ 1 , 1 ] ) and that, on that space, & may be regularized with a sequence &,W = J V s 2 + \Dv\ + J pvdX~\ xvdxi of regular functionals. Then both & and &t can be disfi ao a J cretized by continuous linear finite elements. The convexity of the functionals in BV{Q; [ 1 , 1 ] ) is useful for the numerical minimization of &. W e prove the T-L (Q)-convergence of the discrete functionals to & and present a few numerical examples. K E Y WORDS: Calculus of variations; Surfaces with prescribed mean curvature; Finite elements; Convergence of discrete approximations. RIASSUNTO. — Approssimazioni convesse ài funzionali con curvatura. Si studia la minimizzazione numerica del funzionale 3r{v) = I \Dv\+ J (ivdX"'— I xvdx, per veBV(Q; { — 1,1}), i cui minimi relativi a da a sono funzioni caratteristiche di insiemi A e Q e R con frontiera di curvatura media x ed angolo di contatto arecos (/x) all'intersezione con dû. Si osserva che & può essere equivalentemente minimizzato sullo spazio convesso BV{Q, [— 1,1]), dove viene regolarizzato con una successione di funzionali regolari &£(v) = j^/e 2 + \Dv\+ \ixvdX--\xvdx . Sia $ che $t vengono quindi discretizzati con elementi finiti continui lineari. La convessità dei funzionali in BV(Q, [—1,1]) gioca un ruolo importante nella minimizzazione numerica di 3 \ Si dimostra la T-convergenza dei funzionali discreti a & in L (Û) e si presentano, infine, alcuni esempi numerici.