ÉTUDE MATHÉMATIQUE ET NUMÉRIQUE D'ÉQUATIONS HYPERBOLIQUES NON-LINÉAIRES : COUPLAGE DE MODÈLES & CHOCS NON CLASSIQUES

Cette these concerne l'etude mathematique et numerique d'equations aux derivees partielles hyperboliques non-lineaires. Une premiere partie traite d'une problematique emergente: le couplage d'equations hyperboliques. Les applications poursuivies relevent du couplage mathematique de plateformes de calcul, en vue d'une simulation adaptative de phenomenes multi-echelles. Nous proposons et analysons un nouveau formalisme de couplage construit sur des systemes EDP augmentes permettant de s'affranchir de la description geometrique des frontieres. Ce nouveau formalisme permet de poser le probleme en plusieurs variables d'espace en autorisant l'eventuel recouvrement des modeles a coupler. Ce formalisme autorise notamment a munir la procedure de couplage de mecanismes de regularisation visqueuse utiles a la selection de solutions discontinues naturelles. Nous analysons alors les questions d'existence et d'unicite dans le cadre d'une regularisation parabolique autosemblable. L'existence est acquise sous des conditions tres generales mais de multiples solutions sont susceptibles d'apparaitre des que le phenomene de resonance survient. Ensuite, nous montrons que notre formalisme de couplage a l'aide de modeles EDP augmentes autorise une autre strategie de regularisation basee sur l'epaississement des interfaces. Nous etablissons dans ce cadre l'existence et l'unicite des solutions au probleme de Cauchy pour des donnees initiales $L^\infty$. A cette fin, nous developpons une technique de volumes finis sur des triangulations generales que nous analysons dans la classe des solutions a valeurs mesures entropiques de DiPerna. La seconde partie est consacree a la definition d'un schema de volumes finis pour l'approximation des solutions non classiques d'une loi de conservation scalaire basee sur une relation cinetique. Ce schema presente la particularite d'etre stricto sensu conservatif contrairement a une approche a la Glimm qui ne l'est que statistiquement. Des illustrations numeriques etayent le bien-fonde de notre approche.