Stabilité de l'équation d'advection-diffusion et stabilité de l'équation d'advection pour la solution du problème approché, obtenue par la méthode upwind d'éléments-finis et de volumes-finis avec des éléments de Crouzeix-Raviart

On considere le probleme d’advection-diffusion stationnaire v(∇u, ∇v)+( β•∇u, v) = (f, v) et non stationnaire d/dt (u(t), v) + v(∇u, ∇v)+( β•∇u, v) = (g(t), v), ainsi que le probleme d’advection (β•∇u, v) = (f, v) sur un domaine polygonal borne du plan. Le terme de diffusion est approche par des elements de Crouzeix Raviart et le terme de convection par une methode upwind sur des volumes barycentriques finis avec un maillage triangulaire. Pour le probleme stationnaire d’advection-diffusion, la L²-stabilite (c’est-a-dire independante du coefficient de diffusion v) est demontree pour la solution du probleme approche obtenue par cette methode d’elements finis et de volumes finis. Pour cela une condition sur la geometrie doit etre satisfaite. Des exemples de maillages sont donnes. Toujours avec cette condition geometrique sur le maillage, une inegalite de stabilite (ou la discretisation en temps n’est pas couplee a une condition sur la finesse du maillage) est obtenue pour le cas non-stationnaire. La discretisation en temps y est faite par un schema d’Euler implicite. Une majoration de l’erreur, proportionnelle au pas en temps et a la finesse du maillage, est ensuite proposee et exprimee explicitement en fonction des donnees du probleme. Pour le probleme d’advection, une approche utilisant la theorie des graphes est utilisee pour obtenir l’existence et l’unicite de la solution, ainsi que le resultat de stabilite. Comme pour la stabilite du probleme d’advection-diffusion, une condition geometrique - qui est equivalente pour les points interieurs du maillage a celle du probleme d’advection-diffusion - est necessaire.