Die Anzahl der durch vier teilbaren Invarianten der Klassengruppe eines beliebigen quadratischen Zahlkörpers.

Der vorliegende Satz nebst Anwendung stammt vom Erstgenannten. Der ursprüngliche Beweis wurde dann vom Zweitgenannten bedeutend vereinfacht, nachdem er durch die freundliche Vermittlung von Herrn H. Hasse davon Kenntnis erhalten hatte. Über die im engeren Sinne genommene absolute Klassengruppe eines quadratischen Zahlkörpers sind bisher nur die folgenden allgemeingültigen Tatsachen bekannt: die Ordnung der Gruppe, d. h. die Klassenzahlformeln von Dirichlet, und der Satz von Gauß über die Anzahl der Geschlechter, d. h. über die Anzahl der durch 2 teilbaren Invarianten der Gruppe. (Die Invarianten einer abelschen Gruppe sind, wie üblich, die Ordnungszahlen der Elemente eines beliebigen unabhängigen Basissystems.) Überdies haben wir) ein Kriterium für das Vorhandensein einer durch 4 teilbaren Invariante aufgestellt. Das Resultat hatte sich aus einem Vergleich der beiden genannten Sätze ergeben. Wir ermittelten nämlich aus den Klassenzahlformeln, in welchen Fällen die Klassenzahl eine höhere Potenz von 2 enthält, als der Gaußsehe Satz angibt: in diesen und nur in diesen Fällen gibt es unter den geraden Invarianten eine durch 4 teilbare. Wir werden in dieser Arbeit den Satz von Gauß bedeutend erweitern. Wir werden nämlich die genaue Anzahl der durch 4 teilbaren Invarianten der Klassengruppe bestimmen). Das Verfahren wird kurz das folgende sein: Nach Aufstellen sämtlicher relativ-zyklischer Oberkörper 4. Grades von der Relativdiskriminante l läßt sich die fragliche Anzahl mit Hilfe der Klassenkörpertheorie angeben. Der zu beweisende Satz wird sich mit dem Gaußschen Satze zusammen in einheitlicher Weise aussprechen lassen; beide scheinen nur einen Teil einer allgemeineren Gesetzmäßigkeit zu bilden. Beachtenswert ist auch der Umstand, daß der Lagrangesche Satz