Algorithmique des courbes elliptiques dans les corps finis. (Algorithms for elliptic curves over finite fields)

Cette these est consacree au calcul du nombre de points d'une courbe elliptique definie sur un corps fini. Nous etudions dans une premiere partie l'algorithme de Schoof et ses variantes dues a Atkin et a Elkies. Nous montrons ainsi en quelle mesure ces algorithmes, initialement prevus pour des corps de grande caracteristique, peuvent s'appliquer a ceux de petite caracteristique. Il s'avere que la majeure partie des idees d'Atkin et Elkies sont applicables a cette derniere famille de corps, a quelques modifications mineures pres, excepte le calcul d'isogenies entre courbes elliptiques. C'est pourquoi, nous etudions dans une deuxieme partie cinq algorithmes de calcul d'isogenies. Le premier algorithme est l'algorithme original d'Atkin pour le cas des corps de grande caracteristique. Les deuxieme et troisieme algorithme sont ceux de Couveignes pour les corps de petite caracteristique. Enfin, nous proposons a notre tour un quatrieme algorithme pour le cas specifique de la caracteristique deux et montrons dans un cinquieme algorithme comment ces idees peuvent se generaliser a des corps de caracteristique p impaire pour des isogenies de degre l borne par 2p. D'un point de vue plus pratique, nous explicitons dans une troisieme partie les methodes de programmation mises en oeuvre pour implanter les algorithmes precedents. Nous y presentons notamment ZEN, une librairie de calcul qui permet une programmation efficace en langage C de toute extension algebrique d'un anneau fini. Enfin, nous expliquons comment nous utilisons le programme obtenu pour calculer efficacement le nombre de points de courbes definies dans tout corps finis a moins de 10^100 elements. En particulier, nous montrons comment trouver ainsi des courbes elliptiques ayant de bonnes proprietes cryptographiques.

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