Über die Komposition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variablen

Im Gebiete der quadratischen Formen von n Variablen wird eine Kompositionstheorie stattfinden, wenn fur irgend drei quadratische Formen φ, ψ, χ von nicht verschwindender Determinante die Gleichung $$ \varphi \left( {{x_{1}},{x_{2}}, \ldots {x_{n}}} \right)\psi \left( {{y_{1}},{y_{2}}, \ldots {y_{n}}} \right) = \chi \left( {{z_{1}},{z_{2}}, \ldots {x_{n}}} \right) $$ (1) dadurch befriedigt werden kann, dass man die Variablen z 1, z 2,...z n durch geeignet gewahlte bilineare Funktionen der Variablen x 1, x 2,...x n und y 1, y 2,...y n ersetzt. Da eine quadratische Form durch lineare Transformation der Variablen in eine Summe von Quadraten ubergefuhrt werden kann, so darf man, ohne die Allgemeinheit zu beeintrachtigen, an Stelle der Gleichung (1) die folgende: $$ \left( {x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \ldots + x_{n}^{2}} \right)\left( {y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + \ldots + y_{n}^{2}} \right) = z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + \ldots + z_{n}^{2}$$ (2) betrachten. Hiernach ist die Frage, ob fur quadratische Formen mit n Variablen eine Kompositionstheorie existiert, im wesentlichen identisch mit der andern, ob man der Gleichung (2) durch geeignete bilineare Funktionen z 1, z 2,...z n der 2n unabhangigen Variablen x 1, x 2,...x n , y 1, y 2,...y n genugen kann. In den folgenden Zeilen will ich zeigen, dass dieses nur in den Fallen n = 2, 4, 8 moglich ist, dass also nur fur binare Formen, fur quaternare Formen und fur Formen mit 8 Variablen eine Kompositionstheorie existiert.