Iteration theory and its functional equations

SuntoLa Teoria dell'Iterazione è strettamente legata sia alla teoria delle Equazioni Funzionali che alla Dinamica. Se si considera una funzione come una mappa al tempo uno di un sistema semi-dinamico autonomo discreto, nascono i difficili problemi della sua immersione in un sistema di stati a tempo frazionario e a tempo continuo. La composizione a destra con tale funzione definisce un operatore limitato in un conveniente spazio di Banach di funzioni. Nasce così un legame fra la Teoria dell'Iterazione e l'Analisi Funzionale. Si possono allora studiare semigruppi di operatori di composizione a destra ed inoltre si può introdurre una generalizzazione delle iterate a tempo frazionario e a tempo continuo: le iterate «phantom».In un'altra direzione si possono usare le equazioni funzionali-differenziali di J. Aczel e E. Jabotinsky per studiare la «weak dynamics», cioè per considerare sistemi che hanno alcune, ma non tutte, le proprietà dei sistemi dinamici.SummaryIteration Theory has Functional Equations and Dynamics as close neighbours. Considering a function as a time-one map of a discrete autonomous semi-dynamical system, the difficult problems of fractional-time state and continuous time embedding arise. Right composition by the function considered defines a bounded operator on a suitable Banach space of functions. Thus a connection is established between Iteration Theory and Functional Analysis. Then semigroups of right-composition operators can be investigated, moreover a generalization of fractional and continuous time iterates can be considered: phantom iterates. In another direction, functional-differential equations due to J. Aczél and E. Jabotinsky can be used to study «weak dynamics»: to consider systems having some but not all properties of dynamical systems.