Mismatched-Filterung periodischer Binärarrays

The crosscorrelation function of a two-dimensional binary array with a mismatched filter array is an ideal impulsclikc signal. A measure for the loss of the signal-to-noise ratio compared to matched filtering is the filter efficiency of the binary array. The paper derives three methods for the construction of binary arrays with a high filter efficiency. Furthermore, a method for searching the best binary arrays with certain dimensions is introduced. Two tables comprise the best results obtained by the search and constructive methods for arrays with up to 40 and 256 elements, respectively. Applications of the arrays lie in the field of two-dimensional signal processing, e.g. group coding or coded aperture imaging. Für die Dokumentation: Korrelationsarrays / Korrclationsfolgen / Binärarrays / Binärfolgcn / Mismatched-Filterung / codierte Aperturfunktionen 1. Einleitung Für verschiedene Anwendungen in der mehrdimensionalen Signalverarbeitung und in abbildenden Systemen mit codierter Apertur sind zweidimensionale, ortsdiskrete Signale (Arrays) mit guten Korrelationseigenschaften erwünscht. Von besonderem Interesse sind binäre Arrays mit den Elementen +1. Im periodischen Fall wird ein solches Binärarray perfekt genannt, wenn alle seine Autokorrelationsnebenwerte verschwinden. Im aperiodischen Fall werden die optimalen Binärarrays, deren Autokorrelationsnebenwerte dem Betrag nach höchstens gleich Eins sind, als Barker-Arrays bezeichnet. Zweidimensionale Barker-Arrays sind nur für eine Größe 2 · 2 bekannt. Dagegen lassen sich perfekte Binärarrays für beliebig große Abmessungen konstruieren. Insbesondere aufgrund der Arbeiten von Jedwab, Mitchell und Wild ist seit kurzem die Konstruktion der perfekten Binärarrays mit den Abmessungen (20 (2^, (3 · 2) · (3 · 2), (2)-(2) und (3-2 r + )-(3-20 für alle r>0 möglich. Diese Abmessungen liegen aber nicht sehr dicht, und sie sind auf Seitenverhältnisse 1:1 und 1:4 beschränkt [1,2,3]. Im Fall eindimensionaler Binärsignale ist es nun wohlbekannt, daß sich die Korrelationseigenschaften durch eine „Mismatched"-Filtcrung im periodischen wie im aperiodischen Fall auf Kosten einer oft nur geringfügigen Verringerung des Signal-Störleistungsverhältnisses beliebig verbessern lassen [3-7]. * CADIS, Herzogenrath ** Institut für Elektrische Nachrichtentechnik, RWTH Aachen Die Anwendung der Mismatched-Filterung auf zweidimensionale Binärarrays wurde im aperiodischen Fall von Seidler und von Brown [8, 9] untersucht. Für den periodischen Fall werden im folgenden mehrere Konstruktionsmethoden und ein Suchverfahren entwickelt, mit denen sich Binärarrays und zugeordnete Mismatched-Filter hoher Filtereffizienz zur perfekten Unterdrückung der Korrelationsnebenwerte für beliebige Abmessungen finden lassen. Auch die periodisch perfekt korrelierenden Arrays lassen sich im aperiodischen Fall einsetzen. Es genügt nämlich, ein Array mit dem in Zeilenund Spaltenrichtung jeweils doppelt bis dreifach wiederholten Filterarray zu korrelieren, um in einem Meßfenster („region of interest") perfektes Korrelationsverhalten zu erzielen [9,10, 3]. 2. Periodische Mismatched-Filterung und Filtereffizienz Ein zweidimensionales reellwertiges Sendearray s(n„ ny) mit den Abmessungen N„Ny wird bei der MismatchedFilterung mit einem reellwertigen Filterarray w(n„ny) gleicher Abmessungen periodisch korreliert. Das Ergebnis ist die periodische Kreuzkorrelationsfunktion [3] iV,-l N„-l £„(m„m,) = £ £ s(nx,ny)w(nx + m„ny + my). (1) Dabei bedeutet w(·) die periodische Wiederholung von w(-). FREQUENZ 4g (1994) 3-4 Mismatched-Fttterung periodischer Binärarrays 59 Im Sonderfall s(n„ ny) = w(nx,ny) erhält man aus (1) die periodische Autokorrelationsfunktion JW(0, 0) reellwertige, positive Konstante erhält man durch diskrete Fouriertransformation und als Lösung im Frequenzbereich für die zweidimensionale Übertragungsfunktion des Filterarrays w(k„ky)=c/s*(kx, ky). (3) (Doppelter Stern bedeutet zweidimensionale Faltung). Eine Lösung existiert also immer, solange die Spektralfunktion S(k„ ky) keine Nullstellen enthält. Für den eindimensionalen Fall wurden Bedingungen hierfür in [12] angegeben, und es konnte gezeigt werden, daß für alle Längen Binärfolgen ohne Nullstellen im Spektrum existieren. Diese Aussage läßt sich auch auf den zweidimensionalen Fall übertragen: Für jede beliebige Abmessung N„ Ny lassen sich einzelne Binärarrays als Produkt zweier Binärfolgen der Längen Nx bzw. Ny darstellen, also s(nx, ny) = sx(nx) · sy(nr). Da sich dann ebenfalls die Spektren der Folgen in gleicher Weise multiplizieren [3], müssen auch für beliebige Abmessungen Binärarrays ohne Nullstellen im Frequenzbereich existieren. Bei der Mismatched-Filterung tritt im Vergleich zur Matched-Filterung im Signal-Störleistungsverhältnis ein Verlust auf. Dieser Verlust wird durch die relative FilterEffizienz i/p beschrieben [3]; er beträgt im periodischen Fall (4) 3. Konstruktion perfekter binärer Mismatched-Arrays hoher Filtereffizienz